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Written by: Lionel Cons <Lionel.Cons@cern.ch> (original author)
            Karl Berry  <karl@freefriends.org>
            Olaf Bachmann <obachman@mathematik.uni-kl.de>
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<title>Manual de Maxima: 19. Diferenciaci&oacute;n</title>

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<meta name="keywords" content="Manual de Maxima: 19. Diferenciaci&oacute;n">
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<body lang="es" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#0000FF" vlink="#800080" alink="#FF0000">

<a name="Diferenciaci_00f3n"></a>
<a name="SEC68"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_18.html#SEC67" title="Previous section in reading order"> &lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC69" title="Next section in reading order"> &gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_18.html#SEC66" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_20.html#SEC70" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_78.html#SEC311" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h1 class="chapter"> 19. Diferenciaci&oacute;n </h1>

<table class="menu" border="0" cellspacing="0">
<tr><td align="left" valign="top"><a href="#SEC69">19.1 Funciones y variables para la diferenciaci&oacute;n</a></td><td>&nbsp;&nbsp;</td><td align="left" valign="top">  
</td></tr>
</table>

<hr size="6">
<a name="Funciones-y-variables-para-la-diferenciaci_00f3n"></a>
<a name="SEC69"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC68" title="Previous section in reading order"> &lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_20.html#SEC70" title="Next section in reading order"> &gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC68" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC68" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_20.html#SEC70" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_78.html#SEC311" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h2 class="section"> 19.1 Funciones y variables para la diferenciaci&oacute;n </h2>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>antid</b><i> (<var>expr</var>, <var>x</var>, <var>u(x)</var>) </i>
<a name="IDX640"></a>
</dt>
<dd><p>Devuelve una lista con dos elementos, de manera que se pueda calcular la antiderivada de <var>expr</var> respecto de  <var>x</var> a partir de la lista. La expresi&oacute;n <var>expr</var> puede contener una funci&oacute;n no especificada <var>u</var> y sus derivadas.
</p>
<p>Sea <var>L</var> la lista con dos elementos que devuelve la funci&oacute;n <code>antid</code>.
Entonces, <code><var>L</var>[1] + 'integrate (<var>L</var>[2], <var>x</var>)</code>
es una antiderivada de <var>expr</var> con respecto a <var>x</var>.
</p>
<p>Si la ejecuci&oacute;n de <code>antid</code> resulta exitosa, el segundo elemento de la lista retornada es cero. En caso contrario, el segundo elemento es distinto de cero y el primero puede ser nulo o no. Si <code>antid</code> no es capaz de hacer ning&uacute;n progreso, el primer elemento es nulo y el segundo no nulo.
</p>
<p>Es necesario ejecutar <code>load (&quot;antid&quot;)</code> para cargar esta funci&oacute;n. El paquete <code>antid</code> define tambi&eacute;n las funciones <code>nonzeroandfreeof</code> y <code>linear</code>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>antid</code> est&aacute; relacionada con <code>antidiff</code> como se indica a continuaci&oacute;n.
Sea <var>L</var> la lista devuelta por la funci&oacute;n <code>antid</code>. Entonces, el resultado de <code>antidiff</code> es igual a  <code><var>L</var>[1] + 'integrate (<var>L</var>[2], <var>x</var>)</code>, donde <var>x</var> es la variable de integraci&oacute;n.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) load (&quot;antid&quot;)$
(%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
                            z(x)  d
(%o2)                y(x) %e     (-- (z(x)))
                                  dx
(%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
                       z(x)      z(x)  d
(%o3)          [y(x) %e    , - %e     (-- (y(x)))]
                                       dx
(%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
                            /
                     z(x)   [   z(x)  d
(%o4)         y(x) %e     - I %e     (-- (y(x))) dx
                            ]         dx
                            /
(%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
(%o5)                           0
(%i6) antid (expr, x, y(x));
                             z(x)  d
(%o6)             [0, y(x) %e     (-- (z(x)))]
                                   dx
(%i7) antidiff (expr, x, y(x));
                  /
                  [        z(x)  d
(%o7)             I y(x) %e     (-- (z(x))) dx
                  ]              dx
                  /
</pre>
</dd></dl>


<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>antidiff</b><i> (<var>expr</var>, <var>x</var>, <var>u</var>(<var>x</var>))</i>
<a name="IDX641"></a>
</dt>
<dd><p>Devuelve la antiderivada de <var>expr</var> respecto de <var>x</var>.
La expresi&oacute;n <var>expr</var> puede contener una funci&oacute;n no especificada <var>u</var> y sus derivadas.
</p>
<p>Cuando <code>antidiff</code> se ejecuta con &eacute;xito, la expresi&oacute;n resultante no tiene s&iacute;mbolos integrales (esto es, no tiene referencias a la funci&oacute;n <code>integrate</code>). En otro caso, <code>antidiff</code> devuelve una expresi&oacute;n que se encuentra total o parcialmente bajo el signo de integraci&oacute;n. Si <code>antidiff</code> no puede ralizar ning&uacute;n progreso, el valor devuelto se encuentra completamente bajo la integral.
</p>
<p>Es necesario ejecutar <code>load (&quot;antid&quot;)</code> para cargar esta funci&oacute;n. El paquete <code>antid</code> define tambi&eacute;n las funciones <code>nonzeroandfreeof</code> y <code>linear</code>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>antidiff</code> est&aacute; relacionada con <code>antid</code> como se indica a continuaci&oacute;n.
Sea <var>L</var> la lista de dos elementos que devuelve <code>antid</code>. Entonces, el valor retornado por <code>antidiff</code> es igual a <code><var>L</var>[1] + 'integrate (<var>L</var>[2], <var>x</var>)</code>, donde <var>x</var> es la variable de integraci&oacute;n.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) load (&quot;antid&quot;)$
(%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
                            z(x)  d
(%o2)                y(x) %e     (-- (z(x)))
                                  dx
(%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
                       z(x)      z(x)  d
(%o3)          [y(x) %e    , - %e     (-- (y(x)))]
                                       dx
(%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
                            /
                     z(x)   [   z(x)  d
(%o4)         y(x) %e     - I %e     (-- (y(x))) dx
                            ]         dx
                            /
(%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
(%o5)                           0
(%i6) antid (expr, x, y(x));
                             z(x)  d
(%o6)             [0, y(x) %e     (-- (z(x)))]
                                   dx
(%i7) antidiff (expr, x, y(x));
                  /
                  [        z(x)  d
(%o7)             I y(x) %e     (-- (z(x))) dx
                  ]              dx
                  /
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Propiedad:</u> <b>atomgrad</b>
<a name="IDX642"></a>
</dt>
<dd><p>La propiedad <code>atomgrad</code> es asignada por <code>gradef</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>atvalue</b><i> (<var>expr</var>, [<var>x_1</var> = <var>a_1</var>, ..., <var>x_m</var> = <var>a_m</var>], <var>c</var>)</i>
<a name="IDX643"></a>
</dt>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>atvalue</b><i> (<var>expr</var>, <var>x_1</var> = <var>a_1</var>, <var>c</var>)</i>
<a name="IDX644"></a>
</dt>
<dd><p>Asigna el valor <var>c</var> a <var>expr</var> en el punto <code><var>x</var> = <var>a</var></code>.
</p>
<p>La expresi&oacute;n <var>expr</var> es una funci&oacute;n del tipo 
<code><var>f</var>(<var>x_1</var>, ..., <var>x_m</var>)</code>,
o una derivada,
<code>diff (<var>f</var>(<var>x_1</var>, ..., <var>x_m</var>), <var>x_1</var>, <var>n_1</var>, ..., <var>x_n</var>, <var>n_m</var>)</code>
en la que aparecen los argumentos de la funci&oacute;n de forma expl&iacute;cita.
Los s&iacute;mbolos <var>n_i</var> se refieren al orden de diferenciaci&oacute;n respecto de <var>x_i</var>.
</p>
<p>El punto en el que <code>atvalue</code> establece el valor se especifica mediante la lista de ecuaciones
<code>[<var>x_1</var> = <var>a_1</var>, ..., <var>x_m</var> = <var>a_m</var>]</code>.
Si hay una &uacute;nica variable <var>x_1</var>, la ecuaci&oacute;n puede escribirse sin formar parte de una lista.
</p>
<p>La llamada <code>printprops ([<var>f_1</var>, <var>f_2</var>, ...], atvalue)</code> muestra los valores asignados por <code>atvalue</code> a las funciones <code><var>f_1</var>, <var>f_2</var>, ...</code>.
La llamada  <code>printprops (<var>f</var>, atvalue)</code> muestra los valores asignados por <code>atvalue</code> a la funci&oacute;n <var>f</var>.
La llamada  <code>printprops (all, atvalue)</code> muestra los valores asignados por <code>atvalue</code> a todas las funciones.
</p>
<p>Los s&iacute;mbolos <code>@1</code>, <code>@2</code>, ... representan las variables <var>x_1</var>, <var>x_2</var>, ... cuando se muestran los valores asignados por <code>atvalue</code>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>atvalue</code> eval&uacute;a sus argumentos y devuelve <var>c</var>, el valor asignado.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
                                2
(%o1)                          a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2)                        @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
                                !
                  d             !
                 --- (f(@1, @2))!       = @2 + 1
                 d@1            !
                                !@1 = 0

                                     2
                          f(0, 1) = a

(%o3)                         done
(%i4) diff (4*f(x,y)^2 - u(x,y)^2, x);
                  d                          d
(%o4)  8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
                  dx                         dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
                                         !
              2              d           !
(%o5)     16 a  - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))!            )
                             dx          !
                                         !x = 0, y = 1
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>cartan</b><i>  -</i>
<a name="IDX645"></a>
</dt>
<dd><p>El c&aacute;lculo exterior de formas diferenciales es una herramienta b&aacute;sica de la geometr&iacute;a diferencial desarrollada por Elie Cartan, teniendo importantes aplicaciones en la teor&iacute;a de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
El paquete <code>cartan</code> dispone de las funciones <code>ext_diff</code> y <code>lie_diff</code>, as&iacute; como de los operadores <code>~</code> (producto exterior) y <code>|</code> (contracci&oacute;n de una forma con un vector). La orden <code>demo (tensor)</code> permite ver una breve descripci&oacute;n de estas instrucciones, junto con ejemplos.
</p>
<p>El paquete <code>cartan</code> fue escrito por F.B. Estabrook y H.D. Wahlquist.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>del</b><i> (<var>x</var>)</i>
<a name="IDX646"></a>
</dt>
<dd><p>La expresi&oacute;n <code>del (<var>x</var>)</code> representa el diferencial de la variable <em>x</em>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>diff</code> devuelve una expresi&oacute;n que contiene a <code>del</code> si no se ha especificado una variable independiente. En este caso, el valor retornado es el llamado &quot;diferencial total&quot;.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) diff (log (x));
                             del(x)
(%o1)                        ------
                               x
(%i2) diff (exp (x*y));
                     x y              x y
(%o2)            x %e    del(y) + y %e    del(x)
(%i3) diff (x*y*z);
(%o3)         x y del(z) + x z del(y) + y z del(x)
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>delta</b><i> (<var>t</var>)</i>
<a name="IDX647"></a>
</dt>
<dd><p>Es la funci&oacute;n delta de Dirac.
</p>
<p>En el estado actual de desarrollo de Maxima, s&oacute;lo <code>laplace</code> reconoce la funci&oacute;n <code>delta</code>.
</p>
<p>Ejemplo:
</p>
<pre class="example">(%i1) laplace (delta (t - a) * sin(b*t), t, s);
Is  a  positive, negative, or zero?

p;
                                   - a s
(%o1)                   sin(a b) %e
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Variable del sistema:</u> <b>dependencies</b>
<a name="IDX648"></a>
</dt>
<dd><p>Valor por defecto: <code>[]</code>
</p>
<p>La variable <code>dependencies</code> es la lista de &aacute;tomos que tienen alg&uacute;n tipo de dependencia funcional, asignada por <code>depends</code> o <code>gradef</code>. La lista <code>dependencies</code> es acumulativa: cada llamada a <code>depends</code> o <code>gradef</code> a&ntilde;ade elementos adicionales.
</p>
<p>V&eacute;anse <code>depends</code> y <code>gradef</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>depends</b><i> (<var>f_1</var>, <var>x_1</var>, ..., <var>f_n</var>, <var>x_n</var>)</i>
<a name="IDX649"></a>
</dt>
<dd><p>Declara dependencias funcionales entre variables con el prop&oacute;sito de calcular derivadas.
En ausencia de una dependencia declarada, <code>diff (f, x)</code> devuelve cero.
Si se declara <code>depends (f, x)</code>, <code>diff (f, x)</code> devuelve una derivada simb&oacute;lica (esto es, una expresi&oacute;n con <code>diff</code>).
</p>
<p>Cada argumento  <var>f_1</var>, <var>x_1</var>, etc., puede ser el nombre de una variable, de un arreglo o una lista de nombres.
Cada elemento de <var>f_i</var> (quiz&aacute;s un &uacute;nico elemento) se declara como dependiente de cada elemento de <var>x_i</var> (quiz&aacute;s tambi&eacute;n un &uacute;nico elemento). Si alguno de los  <var>f_i</var> es el nombre de un arreglo o contiene el nombre de un arreglo, todos los elemento del arregl dependen de <var>x_i</var>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>diff</code> reconoce dependencias indirectas establecidas por <code>depends</code> y aplica la regla de la cadena en tales casos.
</p>
<p>La instrucci&oacute;n <code>remove (<var>f</var>, dependency)</code> borra todas las dependencias declaradas para <var>f</var>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>depends</code> devuelve una lista con las dependencias que han sido establecidas. Las dependencias se a&ntilde;aden a la variable global <code>dependencies</code>. La funci&oacute;n <code>depends</code> eval&uacute;a sus argumentos.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>diff</code> es la &uacute;nica instrucci&oacute;n de Maxima que reconoce las dependencias establecidas por <code>depends</code>. Otras funciones (<code>integrate</code>, <code>laplace</code>, etc.) solamente reconocen dependencias expl&iacute;citamente representadas por sus argumentos. Por ejemplo, <code>integrate</code> no reconoce la dependencia de <code>f</code> respecto de <code>x</code>
a menos que se represente expl&iacute;citamente como <code>integrate (f(x), x)</code>.
</p>
<pre class="example">(%i1) depends ([f, g], x);
(%o1)                     [f(x), g(x)]
(%i2) depends ([r, s], [u, v, w]);
(%o2)               [r(u, v, w), s(u, v, w)]
(%i3) depends (u, t);
(%o3)                        [u(t)]
(%i4) dependencies;
(%o4)      [f(x), g(x), r(u, v, w), s(u, v, w), u(t)]
(%i5) diff (r.s, u);
                         dr           ds
(%o5)                    -- . s + r . --
                         du           du
</pre>
<pre class="example">(%i6) diff (r.s, t);
                      dr du           ds du
(%o6)                 -- -- . s + r . -- --
                      du dt           du dt
</pre>
<pre class="example">(%i7) remove (r, dependency);
(%o7)                         done
(%i8) diff (r.s, t);
                                ds du
(%o8)                       r . -- --
                                du dt
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Variable optativa:</u> <b>derivabbrev</b>
<a name="IDX650"></a>
</dt>
<dd><p>Valor por defecto: <code>false</code>
</p>
<p>Si <code>derivabbrev</code> vale <code>true</code>, las derivadas simb&oacute;licas (esto es, expresiones con <code>diff</code>) se muestran como sub&iacute;ndices. En otro caso, las derivadas se muestran en la notaci&oacute;n de Leibniz, <code>dy/dx</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>derivdegree</b><i> (<var>expr</var>, <var>y</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX651"></a>
</dt>
<dd><p>Devuelve el mayor grado de la derivada de la variable dependiente <var>y</var> respecto de la variable independiente <var>x</var> que aparece en <var>expr</var>.
</p>
<p>Ejemplo:
</p><pre class="example">(%i1) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, z, 3) + 'diff (y, x) * x^2;
                         3     2
                        d y   d y    2 dy
(%o1)                   --- + --- + x  --
                          3     2      dx
                        dz    dx
(%i2) derivdegree (%, y, x);
(%o2)                           2
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>derivlist</b><i> (<var>var_1</var>, ..., <var>var_k</var>)</i>
<a name="IDX652"></a>
</dt>
<dd><p>Hace que las derivadas calculadas por la instrucci&oacute;n <code>ev</code> se calculen respecto de las variables indicadas.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Variable optativa:</u> <b>derivsubst</b>
<a name="IDX653"></a>
</dt>
<dd><p>Valor por defecto: <code>false</code>
</p>
<p>Si <code>derivsubst</code> vale <code>true</code>, una sustituci&oacute;n no sint&aacute;ctica del estilo 
<code>subst (x, 'diff (y, t), 'diff (y, t, 2))</code> devuelve <code>'diff (x, t)</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>diff</b><i> (<var>expr</var>, <var>x_1</var>, <var>n_1</var>, ..., <var>x_m</var>, <var>n_m</var>)</i>
<a name="IDX654"></a>
</dt>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>diff</b><i> (<var>expr</var>, <var>x</var>, <var>n</var>)</i>
<a name="IDX655"></a>
</dt>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>diff</b><i> (<var>expr</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX656"></a>
</dt>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>diff</b><i> (<var>expr</var>)</i>
<a name="IDX657"></a>
</dt>
<dd><p>Devuelve la derivada o diferencial de  <var>expr</var> respecto de alguna o de todas las variables presentes en <var>expr</var>.
</p>
<p>La llamada <code>diff (<var>expr</var>, <var>x</var>, <var>n</var>)</code> devuelve la <var>n</var>-esima derivada de <var>expr</var> respecto de <var>x</var>.
</p>
<p>La llamada <code>diff (<var>expr</var>, <var>x_1</var>, <var>n_1</var>, ..., <var>x_m</var>, <var>n_m</var>)</code>
devuelve la derivada parcial de <var>expr</var> con respecto de <var>x_1</var>, ..., <var>x_m</var>.
Equivale a <code>diff (... (diff (<var>expr</var>, <var>x_m</var>, <var>n_m</var>) ...), <var>x_1</var>, <var>n_1</var>)</code>.
</p>
<p>La llamada <code>diff (<var>expr</var>, <var>x</var>)</code>
devuelve la primera derivada de <var>expr</var> respecto de la variable <var>x</var>.
</p>
<p>La llamada <code>diff (<var>expr</var>)</code> devuelve el diferencial total de <var>expr</var>, esto es, la suma de las derivadas de <var>expr</var> respecto de cada una de sus variables, multiplicadas por el diferencial <code>del</code> de cada una de ellas.
</p>
<p>La forma nominal de <code>diff</code> es necesaria en algunos contextos, como para definir ecuaciones diferenciales.
En tales casos, <code>diff</code> puede ir precedida de un ap&oacute;strofo (como <code>'diff</code>) para evitar el c&aacute;lculo de la derivada.
</p>
<p>Si <code>derivabbrev</code> vale <code>true</code>, las derivadas se muestran como sub&iacute;ndices. En otro caso, se muestran en la notaci&oacute;n de Leibniz, <code>dy/dx</code>.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) diff (exp (f(x)), x, 2);
                     2
              f(x)  d               f(x)  d         2
(%o1)       %e     (--- (f(x))) + %e     (-- (f(x)))
                      2                   dx
                    dx
(%i2) derivabbrev: true$
(%i3) 'integrate (f(x, y), y, g(x), h(x));
                         h(x)
                        /
                        [
(%o3)                   I     f(x, y) dy
                        ]
                        /
                         g(x)
(%i4) diff (%, x);
       h(x)
      /
      [
(%o4) I     f(x, y)  dy + f(x, h(x)) h(x)  - f(x, g(x)) g(x)
      ]            x                     x                  x
      /
       g(x)
</pre>
<p>Para el paquete sobre tensores se han introducido las siguientes modificaciones:
</p>
<p>(1) Las derivadas de los objetos indexados en <var>expr</var> tendr&aacute;n las variables <var>x_i</var> a&ntilde;adidas como argumentos adicionales. Entonces se ordenar&aacute;n todos los &iacute;ndices de derivadas.
</p>
<p>(2) Las <var>x_i</var> pueden ser enteros entre 1 hasta el valor de la variable <code>dimension</code> [valor por defecto: 4].  Esto har&aacute; que la diferenciaci&oacute;n sea llevada a cabo con respecto al <var>x_i</var>-&eacute;simo n&uacute;mero de la lista <code>coordinates</code>, la cual deber&iacute;a contener una lista con los nombres de las coordenadas, por ejemplo, <code>[x, y, z, t]</code>. Si <code>coordinates</code> es una variableis at&oacute;mica, entonces esa variable ser&aacute; utilizada como variable de diferenciaci&oacute;n. Se permite la utilizaci&oacute;n de arreglos con los nombres de las coordenadas o nombres con sub&iacute;ndices, como <code>X[1]</code>, <code>X[2]</code>, ... to be used.  Si a <code>coordinates</code> no se le ha asignado ning&uacute;n valor, entonces las variables ser&aacute;n tratadas como se ha indicado en (1).
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>S&iacute;mbolo especial:</u> <b>diff</b>
<a name="IDX658"></a>
</dt>
<dd><p>Si el nombre <code>diff</code> est&aacute; presente en una llamada a la funci&oacute;n <code>ev</code> en modo <code>evflag</code>, entonces se calculan todas las derivadas presentes en <code>expr</code>.
</p>
</dd></dl>


<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>express</b><i> (<var>expr</var>)</i>
<a name="IDX659"></a>
</dt>
<dd><p>Transforma los nombres de los operadores diferenciales en expresiones que contienen derivadas parciales. Los operadores reconocidos por la funci&oacute;n <code>express</code> son: <code>grad</code> (gradiente), <code>div</code> (divergencia), <code>curl</code> (rotacional), <code>laplacian</code> (laplaciano) y <code>~</code> (producto vectorial).
</p>
<p>Las derivadas simb&oacute;licas (es decir, las que incluyen la forma nominal <code>diff</code>) que aparecen en la expresi&oacute;n devuelta por <code>express</code>, se pueden calcular pas&aacute;ndole a <code>ev</code> el argumento <code>diff</code>, o escribi&eacute;ndolo directamente en la l&iacute;nea de comandos. En este contexto, <code>diff</code> act&uacute;a como <code>evfun</code>.
</p>
<p>Es necesario ejecutar <code>load (&quot;vect&quot;)</code> para cargar esta funci&oacute;n.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) load (&quot;vect&quot;)$
(%i2) grad (x^2 + y^2 + z^2);
                              2    2    2
(%o2)                  grad (z  + y  + x )
(%i3) express (%);
       d    2    2    2   d    2    2    2   d    2    2    2
(%o3) [-- (z  + y  + x ), -- (z  + y  + x ), -- (z  + y  + x )]
       dx                 dy                 dz
(%i4) ev (%, diff);
(%o4)                    [2 x, 2 y, 2 z]
(%i5) div ([x^2, y^2, z^2]);
                              2   2   2
(%o5)                   div [x , y , z ]
(%i6) express (%);
                   d    2    d    2    d    2
(%o6)              -- (z ) + -- (y ) + -- (x )
                   dz        dy        dx
(%i7) ev (%, diff);
(%o7)                    2 z + 2 y + 2 x
(%i8) curl ([x^2, y^2, z^2]);
                               2   2   2
(%o8)                   curl [x , y , z ]
(%i9) express (%);
       d    2    d    2   d    2    d    2   d    2    d    2
(%o9) [-- (z ) - -- (y ), -- (x ) - -- (z ), -- (y ) - -- (x )]
       dy        dz       dz        dx       dx        dy
(%i10) ev (%, diff);
(%o10)                      [0, 0, 0]
(%i11) laplacian (x^2 * y^2 * z^2);
                                  2  2  2
(%o11)                laplacian (x  y  z )
(%i12) express (%);
         2                2                2
        d     2  2  2    d     2  2  2    d     2  2  2
(%o12)  --- (x  y  z ) + --- (x  y  z ) + --- (x  y  z )
          2                2                2
        dz               dy               dx
(%i13) ev (%, diff);
                      2  2      2  2      2  2
(%o13)             2 y  z  + 2 x  z  + 2 x  y
(%i14) [a, b, c] ~ [x, y, z];
(%o14)                [a, b, c] ~ [x, y, z]
(%i15) express (%);
(%o15)          [b z - c y, c x - a z, a y - b x]
</pre>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>gradef</b><i> (<var>f</var>(<var>x_1</var>, ..., <var>x_n</var>), <var>g_1</var>, ..., <var>g_m</var>)</i>
<a name="IDX660"></a>
</dt>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>gradef</b><i> (<var>a</var>, <var>x</var>, <var>expr</var>)</i>
<a name="IDX661"></a>
</dt>
<dd><p>Define las derivadas parciales, o componentes del gradiente, de la funci&oacute;n <var>f</var> o variable <var>a</var>.
</p>
<p>La llamada <code>gradef (<var>f</var>(<var>x_1</var>, ..., <var>x_n</var>), <var>g_1</var>, ..., <var>g_m</var>)</code>
define <code>d<var>f</var>/d<var>x_i</var></code> como <var>g_i</var>, 
donde <var>g_i</var> es una expresi&oacute;n; <var>g_i</var> puede ser una llamada a funci&oacute;n, pero no el nombre de una funci&oacute;n.
El n&uacute;mero de derivadas parciales <var>m</var> puede ser menor que el n&uacute;mero de argumentos <var>n</var>, en cuyo caso las derivadas se definen solamente con respecto a  <var>x_1</var>, ...., <var>x_m</var>.
</p>
<p>La llamada <code>gradef (<var>a</var>, <var>x</var>, <var>expr</var>)</code> define la derivada de la variable <var>a</var> respecto de <var>x</var> en <var>expr</var>. Con esto se establece la dependencia de <var>a</var> respecto de <var>x</var> a trav&eacute;s de <code>depends (<var>a</var>, <var>x</var>)</code>.
</p>
<p>El primer argumento <code><var>f</var>(<var>x_1</var>, ..., <var>x_n</var>)</code> o <var>a</var> no se eval&uacute;a, pero s&iacute; lo hacen el resto de argumentos <var>g_1</var>, ..., <var>g_m</var>.  La llamada a <code>gradef</code> devuelve la funci&oacute;n o variable para la que se define la derivada parcial.
</p>
<p>La instrucci&oacute;n <code>gradef</code> puede redefinir las derivadas de las funciones propias de Maxima.
Por ejemplo, <code>gradef (sin(x), sqrt (1 - sin(x)^2))</code> redefine la derivada de <code>sin</code>.
</p>
<p>La instrucci&oacute;n <code>gradef</code> no puede definir derivadas parciales de funciones subindicadas.
</p>
<p>La llamada <code>printprops ([<var>f_1</var>, ..., <var>f_n</var>], gradef)</code> muestra las derivadas parciales de las funciones <var>f_1</var>, ..., <var>f_n</var>, tal como las defini&oacute; <code>gradef</code>.
</p>
<p>La llamada <code>printprops ([<var>a_n</var>, ..., <var>a_n</var>], atomgrad)</code> muestra las derivadas parciales de las variables <var>a_n</var>, ..., <var>a_n</var>, tal como las defini&oacute; <code>gradef</code>.
</p>
<p>La variable <code>gradefs</code> contiene la lista de las funciones para las que se han definido derivadas parciales con la instrucci&oacute;n <code>gradef</code>, pero no incluye las variables para las que se han definido las derivadas parciales.
</p>
<p>Los gradientes son necesarios cuando una funci&oacute;n no se conoce expl&iacute;citamente pero s&iacute; sus primeras derivadas y es necesario calcular las derivadas de orden mayor.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Variable del sistema:</u> <b>gradefs</b>
<a name="IDX662"></a>
</dt>
<dd><p>Valor por defecto: <code>[]</code>
</p>
<p>La variable <code>gradefs</code> contiene la lista de las funciones para las que se han definido derivadas parciales con la instrucci&oacute;n <code>gradef</code>, pero no incluye las variables para las que se han definido las derivadas parciales.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Funci&oacute;n:</u> <b>laplace</b><i> (<var>expr</var>, <var>t</var>, <var>s</var>)</i>
<a name="IDX663"></a>
</dt>
<dd><p>Calcula la transformada de Laplace de <var>expr</var> con respecto
de la variable <var>t</var> y par&aacute;metro de transformaci&oacute;n <var>s</var>.
</p>
<p>La funci&oacute;n <code>laplace</code> reconoce en <var>expr</var> las funciones
<code>delta</code>, <code>exp</code>, <code>log</code>, <code>sin</code>, <code>cos</code>,
<code>sinh</code>, <code>cosh</code> y <code>erf</code>, as&iacute; como 
<code>derivative</code>, <code>integrate</code>, <code>sum</code> y <code>ilt</code>. 
Si <code>laplace</code> no encuentra una transformada, entonces
llama a la funci&oacute;n <code>specint</code>, la cual puede encontrar
la transformada de Laplace de expresiones con funciones especiales,
tales como las de Bessel. <code>specint</code> tambi&eacute;n puede manipular la 
funci&oacute;n <code>unit_step</code>. V&eacute;ase <code>specint</code> para m&aacute;s informaci&oacute;n.
</p>
<p>Cuando tampoco <code>specint</code> sea capaz de encontrar una soluci&oacute;n,
se devolver&aacute; una forma nominal.
</p>


<p>La funci&oacute;n <code>laplace</code> reconoce integrales de convoluci&oacute;n 
de la forma <code>integrate (f(x) * g(t - x), x, 0, t)</code>,
no pudiendo reconocer otros tipos de convoluciones.
</p>
<p>Las relaciones funcionales se deben representar expl&iacute;citamente en <var>expr</var>; las relaciones impl&iacute;citas establecidas por <code>depends</code> no son reconocidas. As&iacute;, si <var>f</var> depende de <var>x</var> y <var>y</var>, <code>f (x, y)</code> debe aparecer en <var>expr</var>.
</p>
<p>V&eacute;ase tambi&eacute;n <code>ilt</code>, la transformada inversa de Laplace.
</p>
<p>Ejemplos:
</p>
<pre class="example">(%i1) laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s);
                            a
                          %e  (2 s - 4)
(%o1)                    ---------------
                           2           2
                         (s  - 4 s + 5)
(%i2) laplace ('diff (f (x), x), x, s);
(%o2)             s laplace(f(x), x, s) - f(0)
(%i3) diff (diff (delta (t), t), t);
                          2
                         d
(%o3)                    --- (delta(t))
                           2
                         dt
(%i4) laplace (%, t, s);
                            !
               d            !         2
(%o4)        - -- (delta(t))!      + s  - delta(0) s
               dt           !
                            !t = 0
(%i5) assume(a&gt;0)$
(%i6) laplace(gamma_incomplete(a,t),t,s),gamma_expand:true;
                                              - a - 1
                         gamma(a)   gamma(a) s
(%o6)                    -------- - -----------------
                            s            1     a
                                        (- + 1)
                                         s
(%i7) factor(laplace(gamma_incomplete(1/2,t),t,s));
                                              s + 1
                      sqrt(%pi) (sqrt(s) sqrt(-----) - 1)
                                                s
(%o7)                 -----------------------------------
                                3/2      s + 1
                               s    sqrt(-----)
                                           s
(%i8) assume(exp(%pi*s)&gt;1)$
(%i9) laplace(sum((-1)^n*unit_step(t-n*%pi)*sin(t),n,0,inf),t,s),simpsum;
                         %i                         %i
              ------------------------ - ------------------------
                              - %pi s                    - %pi s
              (s + %i) (1 - %e       )   (s - %i) (1 - %e       )
(%o9)         ---------------------------------------------------
                                       2
(%i9) factor(%);
                                      %pi s
                                    %e
(%o9)                   -------------------------------
                                             %pi s
                        (s - %i) (s + %i) (%e      - 1)

</pre>
</dd></dl>

<hr size="6">
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC68" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_20.html#SEC70" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_78.html#SEC311" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<p>
 <font size="-1">
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</p>
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