1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
|
<TeXmacs|1.0.6.11>
<style|article>
<\body>
<doc-data|<doc-title|Méthodes utilisées dans le logiciel \S pysatellites
\T>|<doc-author-data|<author-name|Georges Khaznadar
>|<author-email|georgesk@ofset.org>>>
<section|Utilité du logiciel \S pysatellites \T>
Le logiciel pysatellites sert à simuler le lancement de satellites autour
de diverses planètes. En France, ce logiciel est utilisé dans
l'enseignement au niveau du lycée. L'élève est invité à choisir une
planète, ou à préciser les paramètres de rayon et de masse qu'il veut, puis
il contrôle le point de lancment d'un satellite, sa vitesse radiale et sa
vitesse orthoradiale. Quand ce choix est fini, il lance la simulation et
voit quelle trajectoire le satellite peut alors suivre.
<section|Méthode utilisée pour la simulation>
La méthode est une méthode de calcul de proche en proche : à des
intervalles de temps réguliers, la vitesse et la position du satellite
connues sont utilisées afin de prédire sa position et sa vitesse un
intervalle de temps plus tard. On parle d'intégration numérique, car seule
la loi locale qui donne la force d'attraction appliquée au satellite est
prise en considération.
Un autre méthode serait possible : dans le cas d'un problème à un corps
plongé dans un potentiel newtonien, les équations de la dynamique du
satellite admettent des solutions algébriques que l'on sait déterminer.
J'ai utilisé un document synthétique publié sur Internet, à l'adresse\
<code*|http://melusine.eu.org/syracuse/immae/mpsi/physique-chimie/mecanique/08.pdf>
Ce document résume ce qu'on peut retenir comme propriété des coniques
(ellipses, parabole, hyperboles), et la solution connue du problème à un
corps dans un potentiel newtonien. On peut l'utiliser pour calculer sans
avoir à terminer la simulation divers paramètres. L'un d'entre eux est très
important, il s'agit de la période <math|T> du mouvement quand l'énergie
mécanique <math|E<rsub|m>> du satellite est négative, et que celui-ci
décrit une ellipse dans le puits de potentiel de l'astre qui l'attire.
<section|La méthode d'intégration de Runge-Kutta>
<section|Détermination de la période d'un mouvement elliptique>
On connaît la distance <math|r> du satellite à l'astre de masse <math|M>.
On en déduit facilement son énergie potentielle massique,
<math|E<rsub|p>/m=-<frac|GM|r>>, où <math|G=6,67.10<rsup|-11>u.s.i.> est la
constante universelle de gravitation. Connaissant sa vitesse radiale
<math|<wide|r<with|mode|text|<math|>>|\<dot\>>> et sa vitesse orthoradiale
<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>, on déduit son énergie cinétique massique,
<math|E<rsub|c>/m=<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>>.
Il suffit d'aditionner les énergies pour parvenir à l'énergie mécanique
massique, <math|E<rsub|m>/m=-<frac|GM|r>+<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>>.
Plusieurs cas se présentent alors :
<\enumerate-numeric>
<item><math|E<rsub|m>/m \<less\> 0> : le satellite reste dans le puits de
potentiel de l'astre, sa trajectoire est une ellipse, qu'il parcourt avec
une période <math|T>.
<item><with|mode|math|E<rsub|m>/m = 0> : le satellite n'est pas lié, il
possède tout juste la vitesse de libération, sa trajectoire est une
parabole, sa vitesse s'annule à l'infini.
<item><with|mode|math|E<rsub|m>/m \<gtr\> 0> : le satellite n'est pas
lié, sa vitesse à l'infini est non nulle, sa trajectoire est
hyperbolique.
</enumerate-numeric>
Dans le premier cas seulement, une période existe pour le mouvement du
satellite, et on la calcule ainsi : le grand axe <math|a> de l'ellipse se
déduit de la constante d'attraction (<math|k=GMm)> par la formule <math|a =
-k/2Em=<frac|-GM|2(-<frac|GM|r>+<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>)>><math|>.
Connaissant le grand axe <math|a> de l'ellipse, on peut alors déterminer la
période <math|T> du mouvement grâce à la troisième loi de Kepler,
<math|T<rsup|2>=4\<pi\><rsup|2>/MG*a<rsup|3>>, soit
<math|T=2\<pi\><sqrt|<frac|1|MG*a<rsup|3>>|>>.
Quand la période <math|T> du mouvement est connue, on peut prendre comme
ordre de grandeur de l'intervalle de temps pour l'intégration, un centième
de cette période. Ça donne des résultats satisfaisants pour les mouvement
d'excentricité faible : c'est à dire que la trajectoire apparaît facilement
comme fermée à l'écran, au pixel près. Dans le cas d'ellipses fortement
excentriques, il faut diminuer le l'intervalle de temps utilisé pour
l'intégration.
</body>
<\initial>
<\collection>
<associate|language|french>
</collection>
</initial>
<\references>
<\collection>
<associate|auto-1|<tuple|1|1>>
<associate|auto-2|<tuple|2|1>>
<associate|auto-3|<tuple|3|1>>
<associate|auto-4|<tuple|4|1>>
</collection>
</references>
<\auxiliary>
<\collection>
<\associate|toc>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Utilité
du logiciel \S pysatellites \T> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>Méthode
utilisée pour la simulation> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|3<space|2spc>La
méthode d'intégration de Runge-Kutta>
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-3><vspace|0.5fn>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|4<space|2spc>Détermination
de la période d'un mouvement elliptique>
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-4><vspace|0.5fn>
</associate>
</collection>
</auxiliary>
|