← Back to branch summary

~e-santos10/maus/devel

« back to all changes in this revision

Viewing changes to doc/doc_src/detectors/tracker/11-Appendices/11-04-Three-point-circle/11-04-Three-point-circle.tex

  • Committer: Edward Santos
  • Date: 2014-01-27 12:08:22 UTC
  • mfrom: (1034.3.37 tracker_devel)
  • Revision ID: e.santos10@imperial.ac.uk-20140127120822-8pr90w50mwcfzwob
merged

Show diffs side-by-side

added added

removed removed

Lines of Context:
doc/doc_src/detectors/tracker/11-Appendices/11-04-Three-point-circle/11-04-Three-point-circle.tex
 
1
\section{Circle parameters from three points}
 
2
\label{App:SciFiThreePointCircle}
 
3
 
 
4
A circle in the plane $z=0$ may be parameterised as:
 
5
\begin{equation}
 
6
  ( x - X_0 )^2 + ( y - Y_0 )^2 = \rho^2 \, ;
 
7
\end{equation}
 
8
where $(X_0, Y_0)$ is the position of the centre of the circle and $\rho$
 
9
is its radius.
 
10
Expanding:
 
11
\begin{equation}
 
12
  (x^2+y^2) - 2 X_0 x - 2 Y_0 y = \rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 ) \, ;
 
13
\end{equation}
 
14
which implies:
 
15
\begin{equation}
 
16
  \frac{(x^2+y^2)}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )} - 
 
17
  \frac{2 X_0 x}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )}   - 
 
18
  \frac{2 Y_0 y}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )} = 1 \, .
 
19
\end{equation}
 
20
The circle may be parameterised:
 
21
\begin{equation}
 
22
  \alpha(x^2+y^2) + \beta x + \gamma y + \kappa = 0 \, ;
 
23
  \label{Eq:CrclPrm}
 
24
\end{equation}
 
25
where:
 
26
\begin{eqnarray}
 
27
  \alpha & = & \frac{1}{\rho^2 - ( X_0^2 + Y_0^2 )}        \, ;          \\
 
28
  \beta  & = & -2 X_0 \alpha                           \, ;          \\
 
29
  \gamma & = & -2 Y_0 \alpha                           \, ;          \\
 
30
  \kappa & = & -1                                       \; .
 
31
\end{eqnarray}
 
32
These equations are readily inverted to yield:
 
33
\begin{eqnarray}
 
34
  X_0 & = & \frac{-\beta}{2 \alpha}                    \, ;
 
35
  \label{Eq:Param1}                                                  \\
 
36
  Y_0 & = & \frac{-\gamma}{2 \alpha}                   \, ; 
 
37
  \label{Eq:Param2}                                                  \\
 
38
  \rho   & = & \sqrt{
 
39
                  \frac{\beta^2 + \gamma^2}{4 \alpha^2}
 
40
                  - \frac{\kappa}{\alpha}
 
41
                  } \, .
 
42
  \label{Eq:Param3}
 
43
\end{eqnarray}
 
44
 
 
45
The equation of a circle passing through three points $(x_i,y_i)$,
 
46
where $i=1,2,3$ can be found from:
 
47
\begin{equation}
 
48
  \left|
 
49
    \begin{matrix}
 
50
      x^2+y^2     & x  & y   & 1   \\
 
51
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1   \\
 
52
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1   \\
 
53
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3 & 1
 
54
    \end{matrix}
 
55
  \right|
 
56
  =0 \, ;
 
57
\end{equation}
 
58
which can be re-written as:
 
59
\begin{equation}
 
60
  (x^2+y^2)
 
61
  \left|
 
62
    \begin{matrix}
 
63
      x_1 & y_1 & 1 \\
 
64
      x_2 & y_2 & 1 \\
 
65
      x_3 & y_3 & 1
 
66
    \end{matrix}
 
67
  \right|
 
68
  -x
 
69
  \left|
 
70
    \begin{matrix}
 
71
      x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\
 
72
      x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\
 
73
      x_3^2+y_3^3 & y_3 & 1
 
74
    \end{matrix}
 
75
  \right|
 
76
  +y
 
77
  \left|
 
78
    \begin{matrix}
 
79
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\
 
80
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1 \\
 
81
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & 1
 
82
    \end{matrix}
 
83
  \right|
 
84
  -
 
85
  \left|
 
86
    \begin{matrix}
 
87
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\
 
88
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\
 
89
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3
 
90
    \end{matrix}
 
91
  \right|
 
92
  =0 \, .
 
93
\end{equation}
 
94
Comparing this relation with equation \ref{Eq:CrclPrm}:
 
95
\begin{eqnarray}
 
96
  \alpha & = & \left|
 
97
                 \begin{matrix}
 
98
                   x_1 & y_1 & 1\\
 
99
                   x_2 & y_2 & 1\\
 
100
                   x_3 & y_3 & 1
 
101
                 \end{matrix}
 
102
               \right|                                    \\
 
103
  \beta  & = & -\left|
 
104
                 \begin{matrix}
 
105
                   x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\
 
106
                   x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\
 
107
                   x_3^2+y_3^3 & y_3  & 1
 
108
                 \end{matrix}
 
109
               \right|                                    \\
 
110
  \gamma & = & \left|
 
111
                 \begin{matrix}
 
112
                   x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1\\
 
113
                   x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1\\
 
114
                   x_3^2+y_3^3 & x_3 & 1
 
115
                 \end{matrix}
 
116
               \right|                                   \\
 
117
  \kappa & = & -\left|
 
118
                 \begin{matrix}
 
119
                   x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\
 
120
                   x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\
 
121
                   x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3
 
122
                 \end{matrix}
 
123
               \right| \, .
 
124
\end{eqnarray}
 
125
Noting that:
 
126
\begin{equation}
 
127
  (x + \frac{\beta}{2 \alpha})^2  +
 
128
  (y + \frac{\gamma}{2 \alpha})^2 =
 
129
  \left( \sqrt{\frac{\beta^2 + \gamma^2}{4 \alpha^2} -
 
130
         \frac{\kappa}{\alpha} } 
 
131
  \right)^2 \, .
 
132
\end{equation}
 
133
the position of the centre of the circle, $(X_0, Y_0)$ and its radius,
 
134
$\rho$, are given by equations \ref{Eq:Param1} to \ref{Eq:Param3}.