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Viewing changes to doc/pusrman/navier-stokes.tex

  • Committer: Package Import Robot
  • Author(s): Pierre Saramito, Pierre Saramito, Sylvestre Ledru
  • Date: 2012-05-14 14:02:09 UTC
  • mfrom: (1.1.6)
  • Revision ID: package-import@ubuntu.com-20120514140209-dzbdlidkotyflf9e
Tags: 6.1-1
http://bugs.debian.org/671996
[ Pierre Saramito ]
* New upstream release 6.1 (minor changes):
  - support arbitrarily polynomial order Pk
  - source code supports g++-4.7 (closes: #671996)

[ Sylvestre Ledru ]
* update of the watch file

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added added

removed removed

Lines of Context:
doc/pusrman/navier-stokes.tex
18
18
\apindex{P2}%
19
19
 
20
20
\subsection*{Formulation}
21
 
  This longer example combines most fonctionalities presented
 
21
  This longer example combines most functionalities presented
22
22
  in the previous examples.
23
23
 
24
24
  Let us consider the Navier-Stokes problem for the driven cavity
55
55
 
56
56
\subsection*{Time approximation}
57
57
% ------------------------------
58
 
\cindex{characteristic method}
 
58
\cindex{method!characteristic}%
59
59
 
60
60
Let $\Delta t > 0$.
61
61
Let us consider the following backward second
105
105
the method previously introduced in
106
106
paragraph~\ref{characteristic-method}
107
107
page~\pageref{characteristic-method}.
108
 
The scheme defines a second order recurence 
 
108
The scheme defines a second order recurrence 
109
109
for the sequence $({\bf u}^{n})_{n\geq -1}$,
110
110
that  starts with ${\bf u}^{-1}={\bf u}^{0}=0$.
111
111
 
112
 
\subsection*{Variationnal formulation}
 
112
\subsection*{Variational formulation}
113
113
% ------------------------------------
114
 
The variationnal formulation of this problem expresses:
 
114
The variational formulation of this problem expresses:
115
115
 
116
116
  \ \ \ $(NS)_{\Delta t}$: \ {\it find ${\bf u}^{n+1}\in {\bf V}(1)$ and $p^{n+1} \in L^2_0(\Omega)$ such that:}
117
117
  \[
146
146
\subsection*{Space approximation}
147
147
% ------------------------------------
148
148
  The Taylor-Hood~\cite{hood-taylor-73} finite element approximation
149
 
  of this generalised Stokes problem was also considered
 
149
  of this generalized Stokes problem was also considered
150
150
  in paragraph~\ref{sec-stokes},  page~\pageref{sec-stokes}.
151
151
  We introduce a mesh ${\cal T}_h$ of $\Omega$
152
152
  and the finite dimensional spaces
185
185
% ----------------------------------
186
186
  The {\tt navier\_stokes\_solve} function is similar to the
187
187
  \file{stokes\_cavity.cc}.
188
 
  It solves here a generalised Stokes problem
 
188
  It solves here a generalized Stokes problem
189
189
  and manages a right-hand side ${\bf f}_h$:
190
190
  \begin{lstlisting}[numbers=none,frame=none]
191
191
    characteristic X1 (    -delta_t*uh_star);
199
199
  \file{convect.cc} example.
200
200
\clindex{solver\_abtb}%
201
201
  The generalized Stokes problem is solved by the \code{solver\_abtb} class.
202
 
  The stopping criterion is related to the stationnary solution or the maximal
 
202
  The stopping criterion is related to the stationary solution or the maximal
203
203
  iteration number.
204
204
% TODO: 3D case
205
205
%\cindex{preconditioner!Cahouet-Chabart}%
210
210
%  the number of iterations need by the conjugate gradient algorithm
211
211
%  to reach a given precision is then independent of the mesh size.
212
212
%  This preconditioner leads to the
213
 
%  resolution of the follwoing subproblem:
 
213
%  resolution of the following subproblem:
214
214
%  \[
215
215
%       (M_h^{-1} + \lambda A_h^{-1})q_h = r_h
216
216
%  \]
217
217
%\pbindex{Poisson}%
218
 
%\bcindex{Neuman}%
 
218
%\bcindex{Neumann}%
219
219
%  where $\lambda=Re/\Delta t$,
220
220
%  $r_h\in Q_h$ is given and $M$ and $A$ are respectively the
221
221
%  the mass matrix and the discrete Poisson operator
222
222
%  with Neumann boundary condition.
223
223
%  The resolution of this subproblem
224
 
%  hqs been previously developed in section~\ref{sec-neumann-laplace},
 
224
%  has been previously developed in section~\ref{sec-neumann-laplace},
225
225
%  page~\pageref{sec-neumann-laplace}.
226
226
%
227
227
%\subsection*{File \file{cahouet-chabart.h}}
320
320
  and the computation loops for five mesh adaptations.
321
321
  At each time step, the program prints an approximation of the time derivative,
322
322
  and stops when a stationary solution is reached.
323
 
  Then, we visualise the \file{square-5} adapted mesh and its associated solution:
 
323
  Then, we visualize the \file{square-5} adapted mesh and its associated solution:
324
324
\toindex{field!-scale}%
325
325
\toindex{field!-velocity}%
326
326
  \begin{verbatim}
358
358
        \hspace{-0cm} \includegraphics{navier-stokes-cut-u1.pdf}
359
359
   \end{tabular}
360
360
    \caption{Navier-Stokes: velocity profiles along lines passing
361
 
        throught the center of the cavity, compared 
 
361
        thought the center of the cavity, compared 
362
362
        with data from~\cite{GhiGhiShi-1982}:
363
363
        (a) $u_0$ along the vertical line;
364
364
        (b) $u_1$ along the horizontal line line.}
413
413
        function value.}
414
414
    \label{tab-vortex}
415
415
  \end{figure}
416
 
  Finaly, table~\ref{tab-vortex} compares the
 
416
  Finally, table~\ref{tab-vortex} compares the
417
417
  primary vortex position and its associated stream function value.
418
418
  Notice also the good agreement with previous simulations.
419
419
  The stream function extremal values are obtained by:
423
423
    zcat square-5.field.gz | ./streamf_cavity | field -min -
424
424
    zcat square-5.field.gz | ./streamf_cavity | field -max -
425
425
  \end{verbatim}
426
 
  The maximal value has not yet been communicated to our knoledge and
 
426
  The maximal value has not yet been communicated to our knowledge and
427
427
  is provided in table~\ref{tab-vortex} for cross validation purpose.
428
428
  The small program that computes the primary vortex position is showed below.
429
429
  \begin{verbatim}