~ubuntu-branches/debian/squeeze/maxima/squeeze

@menu

* Definitions for lsquares::

@end menu

 

@node Definitions for lsquares,  , lsquares, lsquares

@section Definitions for lsquares

 

 

@defvr {Global variable} DETCOEF

 

This variable is used by functions @code{lsquares} and @code{plsquares} to store the Coefficient of Determination which measures the goodness of fit. It ranges from 0 (no correlation) to 1 (exact correlation). 

 

When @code{plsquares} is called with a list of dependent variables, @var{DETCOEF} is set to a list of Coefficients of Determination. See @code{plsquares} for details.

 

See also @code{lsquares}.

@end defvr

 

 

@deffn {Function} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equation},@var{ParamList})

@deffnx {Function} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equation},@var{ParamList},@var{GuessList})

Multiple nonlinear equation adjustment of a data table by the

"least squares" method. @var{Mat} is a matrix containing the data,

@var{VarList} is a list of variable names (one for each @var{Mat} column),

@var{equation} is the equation to adjust (it must be in the form:

@code{depvar=f(indepvari,..., paramj,...)}, @code{g(depvar)=f(indepvari,..., paramj,...)} 

or @code{g(depvar, paramk,...)=f(indepvari,..., paramj,...)}), @var{ParamList} is the 

list of the parameters to obtain, and @var{GuessList} is an optional list of initial 

approximations to the parameters; when this last argument is present, @code{mnewton} is used

instead of @code{solve} in order to get the parameters.

 

The equation may be fully nonlinear with respect to the independent

variables and to the dependent variable.

In order to use @code{solve()}, the equations must be linear or polynomial with

respect to the parameters. Equations like @code{y=a*b^x+c} may be adjusted for

@code{[a,b,c]} with @code{solve} if the @code{x} values are little positive integers and

there are few data (see the example in lsquares.dem).

@code{mnewton} allows to adjust a nonlinear equation with respect to the

parameters, but a good set of initial approximations must be provided.

 

If possible, the adjusted equation is returned. If there exists more

than one solution, a list of equations is returned.

The Coefficient of Determination is displayed in order to inform about

the goodness of fit, from 0 (no correlation) to 1 (exact correlation).

This value is also stored in the global variable @var{DETCOEF}.

 

Examples using @code{solve}:

@example

(%i1) load("lsquares")$

 

(%i2) lsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),

               [x,y,z], z=a*x*y+b*x+c*y+d, [a,b,c,d]);

      Determination Coefficient = 1.0

                    x y + 23 y - 29 x - 19

(%o2)           z = ----------------------

                              6

(%i3) lsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),

               [n,p], p=a4*n^4+a3*n^3+a2*n^2+a1*n+a0,

         [a0,a1,a2,a3,a4]);

      Determination Coefficient = 1.0

                     4       3      2

                  3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n

(%o3)         p = -------------------------

                              6

(%i4) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25]), 

               [x,y], (y+c)^2=a*x+b, [a,b,c]);

      Determination Coefficient = 1.0

(%o4) [y = 28 - sqrt(657 - 216 x),

                                y = sqrt(657 - 216 x) + 28]

(%i5) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25],[4,49]),

               [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c]);

      Determination Coefficient = 1.0

                              x

(%o5)                  y = 3 2  + 1

@end example

 

 

Examples using @code{mnewton}:

@example

(%i6) load("lsquares")$

 

(%i7) lsquares(matrix([1.1,7.1],[2.1,13.1],[3.1,25.1],[4.1,49.1]),

               [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c], [5,5,5]);

                                             x

(%o7) y = 2.799098974610482 1.999999999999991

                                        + 1.099999999999874

(%i8) lsquares(matrix([1.1,4.1],[4.1,7.1],[9.1,10.1],[16.1,13.1]),

               [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], [4,1,2]);

                             .4878659755898127

(%o8) y = 3.177315891123101 x

                                        + .7723843491402264

(%i9) lsquares(matrix([0,2,4],[3,3,5],[8,6,6]),

              [m,n,y], y=(A*m+B*n)^(1/3)+C, [A,B,C], [3,3,3]);

                                                     1/3

(%o9) y = (3.999999999999862 n + 4.999999999999359 m)

                                         + 2.00000000000012

@end example

 

To use this function write first @code{load("lsquares")}. See also @code{DETCOEF} and @code{mnewton}.

@end deffn

 

 

@deffn {Function} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars})

@deffnx {Function} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon})

@deffnx {Function} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon},@var{maxdegree})

Multivariable polynomial adjustment of a data table by the "least squares"

method. @var{Mat} is a matrix containing the data, @var{VarList} is a list of variable names (one for each Mat column, but use "-" instead of varnames to ignore Mat columns), @var{depvars} is the name of a dependent variable or a list with one or more names of dependent variables (which names should be in @var{VarList}), @var{maxexpon} is the optional maximum exponent for each independent variable (1 by default), and @var{maxdegree} is the optional maximum polynomial degree (@var{maxexpon} by default); note that the sum of exponents of each term must be equal or smaller than @var{maxdegree}, and if @code{maxdgree = 0} then no limit is applied.

 

If @var{depvars} is the name of a dependent variable (not in a list), @code{plsquares} returns the adjusted polynomial. If @var{depvars} is a list of one or more dependent variables, @code{plsquares} returns a list with the adjusted polynomial(s). The Coefficients of Determination  are displayed in order to inform about the goodness of fit, which ranges from 0 (no correlation) to 1 (exact correlation). These values are also stored in the global variable @var{DETCOEF} (a list if @var{depvars} is a list).

 

 

A simple example of multivariable linear adjustment:

@example

(%i1) load("plsquares")$

 

(%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),

                [x,y,z],z);

     Determination Coefficient for z = .9897039897039897

                       11 y - 9 x - 14

(%o2)              z = ---------------

                              3

@end example

 

The same example without degree restrictions:

@example

(%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),

                [x,y,z],z,1,0);

     Determination Coefficient for z = 1.0

                    x y + 23 y - 29 x - 19

(%o3)           z = ----------------------

                              6

@end example

 

How many diagonals does a N-sides polygon have? What polynomial degree should be used?

@example

(%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),

                [N,diagonals],diagonals,5);

     Determination Coefficient for diagonals = 1.0

                                2

                               N  - 3 N

(%o4)              diagonals = --------

                                  2

(%i5) ev(%, N=9);   /* Testing for a 9 sides polygon */

(%o5)                 diagonals = 27

@end example

 

How many ways do we have to put two queens without they are threatened into a n x n chessboard?

@example

(%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),

                [n,positions],[positions],4);

     Determination Coefficient for [positions] = [1.0]

                         4       3      2

                      3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n

(%o6)    [positions = -------------------------]

                                  6

(%i7) ev(%[1], n=8); /* Testing for a (8 x 8) chessboard */

(%o7)                positions = 1288

@end example

 

An example with six dependent variables:

@example

(%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],

                  [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$

(%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],

                     [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);

      Determination Coefficient for

[_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =

[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

(%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,

_Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,

_Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]

@end example

 

To use this function write first @code{load("lsquares")}.

@end deffn