← Back to branch summary

~ubuntu-branches/ubuntu/precise/kompozer/precise

« back to all changes in this revision

Viewing changes to mozilla/security/nss/lib/freebl/mpi/doc/redux.txt

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Anthony Yarusso
  • Date: 2007-08-27 01:11:03 UTC
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20070827011103-2jgf4s6532gqu2ka
Tags: upstream-0.7.10
Import upstream version 0.7.10

Show diffs side-by-side

added added

removed removed

Lines of Context:
mozilla/security/nss/lib/freebl/mpi/doc/redux.txt
 
1
Modular Reduction
 
2
 
 
3
Usually, modular reduction is accomplished by long division, using the
 
4
mp_div() or mp_mod() functions.  However, when performing modular
 
5
exponentiation, you spend a lot of time reducing by the same modulus
 
6
again and again.  For this purpose, doing a full division for each
 
7
multiplication is quite inefficient.
 
8
 
 
9
For this reason, the mp_exptmod() function does not perform modular
 
10
reductions in the usual way, but instead takes advantage of an
 
11
algorithm due to Barrett, as described by Menezes, Oorschot and
 
12
VanStone in their book _Handbook of Applied Cryptography_, published
 
13
by the CRC Press (see Chapter 14 for details).  This method reduces
 
14
most of the computation of reduction to efficient shifting and masking
 
15
operations, and avoids the multiple-precision division entirely.
 
16
 
 
17
Here is a brief synopsis of Barrett reduction, as it is implemented in
 
18
this library.
 
19
 
 
20
Let b denote the radix of the computation (one more than the maximum
 
21
value that can be denoted by an mp_digit).  Let m be the modulus, and
 
22
let k be the number of significant digits of m.  Let x be the value to
 
23
be reduced modulo m.  By the Division Theorem, there exist unique
 
24
integers Q and R such that:
 
25
 
 
26
         x = Qm + R, 0 <= R < m
 
27
 
 
28
Barrett reduction takes advantage of the fact that you can easily
 
29
approximate Q to within two, given a value M such that:
 
30
 
 
31
                          2k
 
32
                         b
 
33
            M = floor( ----- )
 
34
                         m
 
35
 
 
36
Computation of M requires a full-precision division step, so if you
 
37
are only doing a single reduction by m, you gain no advantage.
 
38
However, when multiple reductions by the same m are required, this
 
39
division need only be done once, beforehand.  Using this, we can use
 
40
the following equation to compute Q', an approximation of Q:
 
41
 
 
42
                     x
 
43
            floor( ------ ) M
 
44
                      k-1
 
45
                     b
 
46
Q' = floor( ----------------- )
 
47
                    k+1
 
48
                   b
 
49
 
 
50
The divisions by b^(k-1) and b^(k+1) and the floor() functions can be
 
51
efficiently implemented with shifts and masks, leaving only a single
 
52
multiplication to be performed to get this approximation.  It can be
 
53
shown that Q - 2 <= Q' <= Q, so in the worst case, we can get out with
 
54
two additional subtractions to bring the value into line with the
 
55
actual value of Q.
 
56
 
 
57
Once we've got Q', we basically multiply that by m and subtract from
 
58
x, yielding:
 
59
 
 
60
   x - Q'm = Qm + R - Q'm
 
61
 
 
62
Since we know the constraint on Q', this is one of:
 
63
 
 
64
      R
 
65
      m + R
 
66
      2m + R
 
67
 
 
68
Since R < m by the Division Theorem, we can simply subtract off m
 
69
until we get a value in the correct range, which will happen with no
 
70
more than 2 subtractions:
 
71
 
 
72
     v = x - Q'm
 
73
 
 
74
     while(v >= m)
 
75
       v = v - m
 
76
     endwhile
 
77
 
 
78
 
 
79
In random performance trials, modular exponentiation using this method
 
80
of reduction gave around a 40% speedup over using the division for
 
81
reduction.
 
82
 
 
83
------------------------------------------------------------------
 
84
The contents of this file are subject to the Mozilla Public
 
85
License Version 1.1 (the "License"); you may not use this file
 
86
except in compliance with the License. You may obtain a copy of
 
87
the License at http://www.mozilla.org/MPL/
 
88
 
 
89
Software distributed under the License is distributed on an "AS
 
90
IS" basis, WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, either express or
 
91
implied. See the License for the specific language governing
 
92
rights and limitations under the License.
 
93
 
 
94
The Original Code is the MPI Arbitrary Precision Integer Arithmetic
 
95
library.
 
96
 
 
97
The Initial Developer of the Original Code is 
 
98
Michael J. Fromberger <sting@linguist.dartmouth.edu>
 
99
 
 
100
Portions created by Michael J. Fromberger are 
 
101
Copyright (C) 1998, 2000 Michael J. Fromberger. All Rights Reserved.
 
102
 
 
103
Contributor(s):
 
104
 
 
105
Alternatively, the contents of this file may be used under the
 
106
terms of the GNU General Public License Version 2 or later (the
 
107
"GPL"), in which case the provisions of the GPL are applicable
 
108
instead of those above.  If you wish to allow use of your
 
109
version of this file only under the terms of the GPL and not to
 
110
allow others to use your version of this file under the MPL,
 
111
indicate your decision by deleting the provisions above and
 
112
replace them with the notice and other provisions required by
 
113
the GPL.  If you do not delete the provisions above, a recipient
 
114
may use your version of this file under either the MPL or the GPL.
 
115
 
 
116
$Id: redux.txt,v 1.1 2000/07/14 00:44:36 nelsonb%netscape.com Exp $
 
117
 
 
118