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1
 
\section{Reference surfaces and coordinate systems}
2
 
\label{Sect:RefSurf&CoordSysts}
3
 
 
4
 
\subsection{Doublet layer}
5
 
\label{SubSect:RefCoordDoublet}
6
 
 
7
 
The doublet-layer reference surface is defined to be the flat plane
8
 
that is tangential to the outer surface of the mylar plane as shown in
9
 
Figure \ref{Fig:DblLyrRef&Coord}a.
10
 
The measured coordinate, $\alpha \in {u, v, w}$, is defined to lie in
11
 
this plane and the $\alpha$ axis is perpendicular to the direction in
12
 
which the fibres run.
13
 
The doublet-layer $z_d$ axis is defined to to be perpendicular to the
14
 
doublet-layer reference surface increasing in the direction indicated
15
 
in the figure.
16
 
The direction in which the measured coordinate, $\alpha$ increases is
17
 
indicated in figure \ref{Fig:DblLyrRef&Coord}b.
18
 
The orthogonal coordinate in the doublet-layer reference surface that
19
 
with $\alpha$ and $z_d$ completes a right handed coordinate system is
20
 
referred to as $\beta$.
21
 
The $\beta$ axis is also indicated in figure
22
 
\ref{Fig:DblLyrRef&Coord}b.
23
 
\begin{figure}
24
 
  \begin{center}
25
 
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]
26
 
      {03-Reference-surfaces-and-coordinate-systems/Figures/doublet-layer.eps}
27
 
  \end{center}
28
 
  \caption{
29
 
    Reference surfaces and coordinate-system definitions for the
30
 
    double layer and station.
31
 
    a) The fibres in the doublet layer are shown as the shaded
32
 
    circles, the central channel being shaded pink.
33
 
    The mylar layer is indicated by the solid black corrugated line.
34
 
    The doublet-layer reference surface is indicated by the vertical
35
 
    straight line, the arrow labelled $\alpha$ indicates the direction
36
 
    in which the coordinate measured by the doublet layer ($u$, $v$ or
37
 
    $w$) increases.
38
 
    The direction of the $z_d$ axis is indicated.
39
 
    b) View of doublet layer looking down on the mylar layer with the
40
 
    optical connectors at the bottom of the figure.
41
 
    The coordinate measured by the doublet layer ($u$, $v$ or $w$) is
42
 
    indicated by the axis labelled $\alpha$.
43
 
    The orthogonal axis, i.e. the direction in which the fibres
44
 
    run, is labelled $\beta$.
45
 
    The origin of the $(\alpha, \beta)$ coordinate system is taken to
46
 
    be at the centre of the circular active area.
47
 
  }
48
 
  \label{Fig:DblLyrRef&Coord}
49
 
\end{figure}
50
 
 
51
 
\subsection{Station}
52
 
\label{SubSect:RefCoordStn}
53
 
 
54
 
The station reference surface is defined to coincide with the
55
 
reference surface of the $v$ doublet layer (see figure
56
 
\ref{Fig:StnRef&Coord}).
57
 
The station coordinate system is defined such that the $y_s$ axis is
58
 
coincident with $v$ axis, the $z_s$ axis is coincident with the $z_d$ axis
59
 
of the $v$ layer and the $x_s$ axis completes a right-handed coordinate
60
 
system.
61
 
\begin{figure}
62
 
  \begin{center}
63
 
    \includegraphics[width=0.22\linewidth]
64
 
      {03-Reference-surfaces-and-coordinate-systems/Figures/station.eps}
65
 
  \end{center}
66
 
  \caption{
67
 
    The carbon-fibre station body is indicated by the heavy solid
68
 
    black lines.
69
 
    The three doublet layers are indicated by the solid grey ($u$),
70
 
    green ($w$) and blue ($v$) lines.
71
 
    The station reference surface is shown by the solid vertical 
72
 
    line coincident with the reference surface of the doublet layer
73
 
    labelled $v$. 
74
 
    The direction $y_s$ axis, defined to be coincident with the $v$ axis
75
 
    and the $z_s$ axes are shown as the solid, black arrows.
76
 
    The $x_s$ axis completes a right-handed coordinate system and
77
 
    therefore points into the page.
78
 
  }
79
 
  \label{Fig:StnRef&Coord}
80
 
\end{figure}
81
 
 
82
 
\subsection{Tracker}
83
 
\label{SubSect:TrkrCoordStn}
84
 
 
85
 
The tracker reference surface is defined to coincide with the
86
 
reference surface of station 1.
87
 
The tracker coordinate system is defined such that the $z_t$ axis
88
 
coincides with the nominal axis of cylindrical symmetry of the tracker
89
 
as shown in figure \ref{Fig:TrkRef&Coord}.
90
 
The tracker $z_t$ coordinate increases from station 1 to station 5.
91
 
The tracker $y_t$ axis is defined to coincide with the $y_s$ axis of
92
 
station 1 and the tracker $x_t$ axis completes a right-handed coordinate
93
 
system.
94
 
\begin{figure}
95
 
  \begin{center}
96
 
    \includegraphics[width=0.7\linewidth]
97
 
      {03-Reference-surfaces-and-coordinate-systems/Figures/tracker.eps}
98
 
  \end{center}
99
 
  \caption{
100
 
    The outline of the components that make up the MICE tracker are
101
 
    shown in the line drawing.
102
 
    The tracker reference surface coincides with the reference surface
103
 
    of station 1.
104
 
    The tracker coordinate system is indicated by the solid lines.
105
 
    The $y_t$ axis is defined to be coincident with the $y_s$ axis in the
106
 
    station coordinate system.  
107
 
    The $z_t$ axis runs along the nominar axis of the tracker.
108
 
    The $x_t$ axis completes a right-handed coordinate system.
109
 
  }
110
 
  \label{Fig:TrkRef&Coord}
111
 
\end{figure}
112
 
 
113
 
\subsection{Coordinate transformations}
114
 
\label{SubSect:CoordTran}
115
 
 
116
 
\subsubsection{Doublet-layer to station}
117
 
\label{SubSubSect:DblStn}
118
 
 
119
 
The transformation from doublet-layer to station coordinates is
120
 
achieved using the rotation $\underline{\underline{R}}_{SD}$ defined
121
 
by: 
122
 
\begin{equation}
123
 
  {\bf r_s} = 
124
 
    \left(
125
 
        \begin{array}{c}
126
 
           x_s                                                      \\
127
 
           y_s
128
 
        \end{array}
129
 
    \right) = \underline{\underline{R}}_{SD} {\bf m} =
130
 
    \left(
131
 
        \begin{array}{cc}
132
 
           \cos \theta_D & -\sin \theta_D                           \\
133
 
           \sin \theta_D & -\cos \theta_D
134
 
        \end{array}
135
 
    \right) 
136
 
    \left(
137
 
        \begin{array}{c}
138
 
           \alpha                                                   \\
139
 
           \beta
140
 
        \end{array}
141
 
    \right) \, ;
142
 
\end{equation}
143
 
where $\theta_D$ is the angle which the fibres that make up the
144
 
doublet-layer make to the $x_s$ axis in the station coordinate
145
 
system.