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1
 
\subsection{Hits and clusters}
2
 
\label{HtsClstrs}
3
 
 
4
 
A track passing through a particular doublet layer produces
5
 
scintillation light in one or at most two fibre channels.
6
 
For each channel ``hit'', the tracker data aquisition system records
7
 
the channel number, $n$, and the pulse height.
8
 
After calibration, the pulse height is recorded in terms of the number
9
 
of photo-electrons ($n_{\rm pe}$) generated in the Visible Light
10
 
Photon Counter (VLPC) illuminated by the hit channel.
11
 
Occassionally, showers of particles or noise can cause three or more
12
 
neighbouring channels to be hit. 
13
 
The term ``clusters'' is used to refer to an isolated hit, a doublet
14
 
cluster and a multi-hit cluster.
15
 
 
16
 
The position of a hit in the doublet-layer coordinate system may be
17
 
determined from the channel number. 
18
 
For isolated hits, the measured coordinate $\alpha \in {u, v, w}$ is
19
 
given by:
20
 
\begin{equation}
21
 
  \alpha = c_p (n - n_0)\,;
22
 
\end{equation}
23
 
where $n_0$ is the channel number of the central fibre and $c_p$ is
24
 
the channel pitch given by:
25
 
\begin{equation}
26
 
  c_p = 3f_p + f_d
27
 
\end{equation}
28
 
where $f_d$ is the fibre diameter ($f_d = 350\,\mu{\rm m}$) and $f_p =
29
 
$ is the fibre pitch ($f_p = 427\,\mu{\rm m}$ see figure
30
 
\ref{Fig:DblLyr}).
31
 
For clusters in which two channels are hit (``doublet clusters'', see
32
 
figure \ref{Fig:Clust}), the measured coordinate is given by:
33
 
\begin{equation}
34
 
  \alpha = c_p \left[ \frac{( n_1 + n_2)}{2} - n_0 \right]\,;
35
 
\end{equation}
36
 
where $n_1$ and $n_2$ are the channel numbers of the two hit fibres.
37
 
For a multi-hit cluster (clusters with more than two neighbouring
38
 
channels), the measured position is determined from the pulse-height
39
 
weighted mean of the fibre positions:
40
 
\begin{equation}
41
 
  \alpha = c_p \left[ 
42
 
                 \frac{\sum_i n_{{\rm pe}i}n_i}{\sum_i n_{{\rm pe}i}} 
43
 
               \right]\,;
44
 
\end{equation}
45
 
where the subscript $i$ indicates the $i^{\rm th}$ channel.
46
 
The pulse-height for doublet and multi-channel clusters is determined
47
 
by summing the pulse height of all the hits that make up the cluster.
48
 
\begin{figure}
49
 
  \begin{center}
50
 
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]%
51
 
    {04-Reconstruction/04-01-Hits-and-clusters/Figures/clusterRES.eps}
52
 
  \end{center}
53
 
  \caption{
54
 
    Channel overlap as simulated in G4MICE; fine-tuning reduces the
55
 
    error associated to doublet clusters.
56
 
  } 
57
 
  \label{Fig:Clust}
58
 
\end{figure}
59
 
 
60
 
The ``measurement vector'', ${\bf m}$ is defined as:
61
 
\begin{equation}
62
 
  {\bf m} =  \left( 
63
 
               \begin{array}{c}
64
 
                 \alpha \\ \beta
65
 
               \end{array}
66
 
              \right) \, ;
67
 
\end{equation}
68
 
where $\alpha$ is given above and, in the absense of additional
69
 
information, $\beta = 0$.
70
 
The corresponding covariance matrix is given by:
71
 
\begin{equation}
72
 
  \underline{\underline{V_m}} = 
73
 
    \left( 
74
 
      \begin{array}{cc}
75
 
         \sigma^2_\alpha & 0         \\
76
 
         0          & \sigma^2_\beta \\
77
 
       \end{array}
78
 
     \right) \, ;
79
 
\end{equation}
80
 
where $\sigma^2_\alpha$ and $\sigma^2_\beta$ are the variance of
81
 
$\alpha$ and $\beta$ respectively.
82
 
The variance on $\alpha$ for a single-hit cluster is given by:
83
 
\begin{equation}
84
 
  \sigma^2_m = \frac{c^2_p}{12} \, .
85
 
\end{equation}
86
 
For a doublet-cluster, the variance is given by:
87
 
\begin{equation}
88
 
  \sigma^2_m = \frac{\Delta^2_\alpha}{12} \, ;
89
 
\end{equation}
90
 
where $\Delta_\alpha = ?$ is the length of the overlap region between
91
 
neighbouring fibre channels (see figure \ref{Fig:Clust}).
92
 
For multihit clusters, the variance is given by
93
 
\begin{equation}
94
 
  \sigma^2_m = \frac{??}{??} \, .
95
 
\end{equation}
96
 
The variance of the perpendicular coordinate, $\beta$, depends on the
97
 
effective length, $l_{\rm eff}$ of the fibre (see figure ?? and
98
 
Appendix ??) and is given by:
99
 
\begin{equation}
100
 
  \sigma^2_\beta = \frac{l^2_{\rm eff}}{12} \, ;
101
 
\end{equation}
102
 
where
103
 
\begin{equation}
104
 
  l_{\rm eff} = ?? \; .
105
 
\end{equation}