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1
 
\subsection{Space-point reconstruction}
2
 
\label{Sect:SpcPnt}
3
 
 
4
 
This section describes the space-point reconstruction, the algebra by
5
 
which the cluster positions are translated in to tracker coordinates
6
 
and, to some extent, the algorithm.
7
 
 
8
 
\subsubsection{Selection of clusters that form the space-point}
9
 
 
10
 
For each particle event, the clusters found within each doublet layer
11
 
are ordered by fibre-channel number.
12
 
Taking each station in turn, an attempt is made to generate a space
13
 
point using all possible combinations of clusters.
14
 
ThetThree clusters, one each from views $u$, $v$ and $w$, that make up
15
 
a space point satisfy:
16
 
\begin{equation}
17
 
 n^u + n^v + n^w = n^u_0 + n^v_0 + n^w_0 \, ;
18
 
\end{equation}
19
 
where $n^u$, $n^v$ and $n^w$ are the fibre numbers of the clusters in
20
 
the $u$, $v$ and $w$ views respectively and $n^u_0$, $n^v_0$ and
21
 
$n^w_0$ are the respective central-fibre numbers (see Appendix
22
 
\ref{App1Kuno}).
23
 
A triplet space point is selected if:
24
 
\begin{equation}
25
 
  | (n^u + n^v + n^w) - (n^u_0 + n^v_0 + n^w_0) | < K \, .
26
 
\end{equation}
27
 
Once all triplet space-points have been found, doublet space-points
28
 
are created from pairs of clusters from different views.
29
 
 
30
 
\subsubsection{Crossing-position calculation}
31
 
 
32
 
\paragraph{Doublet space-points}
33
 
\label{Para:DblSpPnt}
34
 
 
35
 
The position of the doublet space-point in station coordinates, 
36
 
${\bf r}_s$, is given by:
37
 
\begin{eqnarray}
38
 
  {\bf r}_s & = & \left( 
39
 
                      \begin{array}{c}
40
 
                        x_s \\ y_s
41
 
                      \end{array}
42
 
                     \right)                                  \\
43
 
               & = & \underline{\underline{R}}_{SD1} {\bf m}_1 
44
 
                                              \label{Eq:DSP1} \\
45
 
               & = & \underline{\underline{R}}_{SD2} {\bf m}_2 
46
 
                                              \label{Eq:DSP2} \, ;
47
 
\end{eqnarray}
48
 
where the measurement vector corresponding to the $i^{\rm th}$
49
 
cluster: 
50
 
\begin{equation}
51
 
  {\bf m}_i = \left( 
52
 
               \begin{array}{c}
53
 
                 \alpha_i \\ \beta_i
54
 
               \end{array}
55
 
              \right) \, ;
56
 
\end{equation}
57
 
and the rotation matrix $\underline{\underline{R}}_{SDi}$ are defined
58
 
in section \ref{HtsClstrs}.
59
 
The simultaneous equations \ref{Eq:DSP1} and \ref{Eq:DSP2} contain two
60
 
unkowns, $\beta_1$ and $\beta_2$.
61
 
Equations \ref{Eq:DSP1} and \ref{Eq:DSP2} may be rewritten:
62
 
\begin{equation}
63
 
  {\bf m}_1 = \underline{\underline{R}}_{SD1}^{-1}
64
 
              \underline{\underline{R}}_{SD2} {\bf m}_2 \, .
65
 
\end{equation}
66
 
Defining:
67
 
\begin{eqnarray}
68
 
  \underline{\underline{S}} & = & \underline{\underline{R}}_{SD1}^{-1}
69
 
                                  \underline{\underline{R}}_{SD2}     \\
70
 
                            & = & \left( 
71
 
                                    \begin{array}{cc}
72
 
                                      s_{11} & s_{12} \\
73
 
                                      s_{21} & s_{22}
74
 
                                    \end{array}
75
 
                                   \right) \, ;
76
 
\end{eqnarray}
77
 
equations \ref{Eq:DSP1} and \ref{Eq:DSP2} may be solved to yield:
78
 
\begin{eqnarray}
79
 
  \beta_2 & = & \frac{\alpha_1 - s_{11} \alpha_2}{s_{12}}     \\
80
 
  \beta_1 & = & s_{21} \alpha_2 + s_{22} \beta_2 \, .
81
 
\end{eqnarray}
82
 
The position of the space-point may now be obtained from equation
83
 
\ref{Eq:DSP1} or \ref{Eq:DSP2}.
84
 
 
85
 
\paragraph{Triplet space-points}
86
 
 
87
 
As shown in figure \ref{Fig:SenseArea}, the fibres layout is of one of
88
 
two types.
89
 
In one case (right panel of figure \ref{Fig:SenseArea}), the centre of
90
 
the channels, one in each of the three views, cross intersect at a
91
 
single point. 
92
 
In this case, the position of the crossing can be calculated as
93
 
described in seection \ref{Para:DblSpPnt}.
94
 
When the area of overlap of the three channels forms a triangle
95
 
(figure \ref{Fig:SenseArea} left panel), the centre of area of overlap
96
 
is given by:
97
 
\begin{eqnarray}
98
 
  \bar{x} & = & \frac{2}{3}c_p \, {\rm ; and}       \\
99
 
  \bar{y} & = & 0 \, .
100
 
\end{eqnarray}