← Back to branch summary

~chris-rogers/maus/emr_mc_digitization

« back to all changes in this revision

Viewing changes to doc/doc_src/detectors/tracker/01-Current/14-Appendix-4-Helix-track-pattern-recognition/14-Appendix-4-Helix-track-pattern-recognition.tex

  • Committer: Chris Rogers
  • Date: 2014-04-16 11:48:45 UTC
  • mfrom: (707 merge)
  • mto: This revision was merged to the branch mainline in revision 711.
  • Revision ID: chris.rogers@stfc.ac.uk-20140416114845-h3u3q7pdcxkxvovs
Update to trunk

Show diffs side-by-side

added added

removed removed

Lines of Context:
doc/doc_src/detectors/tracker/01-Current/14-Appendix-4-Helix-track-pattern-recognition/14-Appendix-4-Helix-track-pattern-recognition.tex
1
 
\section{Circle parameters from three points}
2
 
\label{App:Crcl3Pnts}
3
 
 
4
 
A circle in the plane $z=0$ may be parameterised as:
5
 
\begin{equation}
6
 
  ( x - X_0 )^2 + ( y - Y_0 )^2 = \rho^2 \, ;
7
 
\end{equation}
8
 
where $(X_0, Y_0)$ is the position of the centre of the circle and $\rho$
9
 
is its radius.
10
 
Expanding:
11
 
\begin{equation}
12
 
  (x^2+y^2) - 2 X_0 x - 2 Y_0 y = \rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 ) \, ;
13
 
\end{equation}
14
 
which implies:
15
 
\begin{equation}
16
 
  \frac{(x^2+y^2)}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )} - 
17
 
  \frac{2 X_0 x}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )}   - 
18
 
  \frac{2 Y_0 y}{\rho^2 -( X_0^2 + Y_0^2 )} = 1 \, .
19
 
\end{equation}
20
 
The circle may be parameterised:
21
 
\begin{equation}
22
 
  \alpha(x^2+y^2) + \beta x + \gamma y + \kappa = 0 \, ;
23
 
  \label{Eq:CrclPrm}
24
 
\end{equation}
25
 
where:
26
 
\begin{eqnarray}
27
 
  \alpha & = & \frac{1}{\rho^2 - ( X_0^2 + Y_0^2 )}        \, ;          \\
28
 
  \beta  & = & -2 X_0 \alpha                           \, ;          \\
29
 
  \gamma & = & -2 Y_0 \alpha                           \, ;          \\
30
 
  \kappa & = & -1                                       \; .
31
 
\end{eqnarray}
32
 
These equations are readily inverted to yield:
33
 
\begin{eqnarray}
34
 
  X_0 & = & \frac{-\beta}{2 \alpha}                    \, ;
35
 
  \label{Eq:Param1}                                                  \\
36
 
  Y_0 & = & \frac{-\gamma}{2 \alpha}                   \, ; 
37
 
  \label{Eq:Param2}                                                  \\
38
 
  \rho   & = & \sqrt{
39
 
                  \frac{\beta^2 + \gamma^2}{4 \alpha^2}
40
 
                  - \frac{\kappa}{\alpha}
41
 
                  } \, .
42
 
  \label{Eq:Param3}
43
 
\end{eqnarray}
44
 
 
45
 
The equation of a circle passing through three points $(x_i,y_i)$,
46
 
where $i=1,2,3$ can be found from:
47
 
\begin{equation}
48
 
  \left|
49
 
    \begin{matrix}
50
 
      x^2+y^2     & x  & y   & 1   \\
51
 
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1   \\
52
 
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1   \\
53
 
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3 & 1
54
 
    \end{matrix}
55
 
  \right|
56
 
  =0 \, ;
57
 
\end{equation}
58
 
which can be re-written as:
59
 
\begin{equation}
60
 
  (x^2+y^2)
61
 
  \left|
62
 
    \begin{matrix}
63
 
      x_1 & y_1 & 1 \\
64
 
      x_2 & y_2 & 1 \\
65
 
      x_3 & y_3 & 1
66
 
    \end{matrix}
67
 
  \right|
68
 
  -x
69
 
  \left|
70
 
    \begin{matrix}
71
 
      x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\
72
 
      x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\
73
 
      x_3^2+y_3^3 & y_3 & 1
74
 
    \end{matrix}
75
 
  \right|
76
 
  +y
77
 
  \left|
78
 
    \begin{matrix}
79
 
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\
80
 
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1 \\
81
 
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & 1
82
 
    \end{matrix}
83
 
  \right|
84
 
  -
85
 
  \left|
86
 
    \begin{matrix}
87
 
      x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\
88
 
      x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\
89
 
      x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3
90
 
    \end{matrix}
91
 
  \right|
92
 
  =0 \, .
93
 
\end{equation}
94
 
Comparing this relation with equation \ref{Eq:CrclPrm}:
95
 
\begin{eqnarray}
96
 
  \alpha & = & \left|
97
 
                 \begin{matrix}
98
 
                   x_1 & y_1 & 1\\
99
 
                   x_2 & y_2 & 1\\
100
 
                   x_3 & y_3 & 1
101
 
                 \end{matrix}
102
 
               \right|                                    \\
103
 
  \beta  & = & -\left|
104
 
                 \begin{matrix}
105
 
                   x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\
106
 
                   x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\
107
 
                   x_3^2+y_3^3 & y_3  & 1
108
 
                 \end{matrix}
109
 
               \right|                                    \\
110
 
  \gamma & = & \left|
111
 
                 \begin{matrix}
112
 
                   x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1\\
113
 
                   x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1\\
114
 
                   x_3^2+y_3^3 & x_3 & 1
115
 
                 \end{matrix}
116
 
               \right|                                   \\
117
 
  \kappa & = & -\left|
118
 
                 \begin{matrix}
119
 
                   x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\
120
 
                   x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\
121
 
                   x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3
122
 
                 \end{matrix}
123
 
               \right| \, .
124
 
\end{eqnarray}
125
 
Noting that:
126
 
\begin{equation}
127
 
  (x + \frac{\beta}{2 \alpha})^2  +
128
 
  (y + \frac{\gamma}{2 \alpha})^2 =
129
 
  \left( \sqrt{\frac{\beta^2 + \gamma^2}{4 \alpha^2} -
130
 
         \frac{\kappa}{\alpha} } 
131
 
  \right)^2 \, .
132
 
\end{equation}
133
 
the position of the centre of the circle, $(X_0, Y_0)$ and its radius,
134
 
$\rho$, are given by equations \ref{Eq:Param1} to \ref{Eq:Param3}.