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Viewing changes to theories/Numbers/Natural/Abstract/NIso.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

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Lines of Context:
theories/Numbers/Natural/Abstract/NIso.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
(*                      Evgeny Makarov, INRIA, 2007                     *)
 
9
(************************************************************************)
 
10
 
 
11
(*i $Id: NIso.v 10934 2008-05-15 21:58:20Z letouzey $ i*)
 
12
 
 
13
Require Import NBase.
 
14
 
 
15
Module Homomorphism (NAxiomsMod1 NAxiomsMod2 : NAxiomsSig).
 
16
 
 
17
Module NBasePropMod2 := NBasePropFunct NAxiomsMod2.
 
18
 
 
19
Notation Local N1 := NAxiomsMod1.N.
 
20
Notation Local N2 := NAxiomsMod2.N.
 
21
Notation Local Eq1 := NAxiomsMod1.Neq.
 
22
Notation Local Eq2 := NAxiomsMod2.Neq.
 
23
Notation Local O1 := NAxiomsMod1.N0.
 
24
Notation Local O2 := NAxiomsMod2.N0.
 
25
Notation Local S1 := NAxiomsMod1.S.
 
26
Notation Local S2 := NAxiomsMod2.S.
 
27
Notation Local "n == m" := (Eq2 n m) (at level 70, no associativity).
 
28
 
 
29
Definition homomorphism (f : N1 -> N2) : Prop :=
 
30
  f O1 == O2 /\ forall n : N1, f (S1 n) == S2 (f n).
 
31
 
 
32
Definition natural_isomorphism : N1 -> N2 :=
 
33
  NAxiomsMod1.recursion O2 (fun (n : N1) (p : N2) => S2 p).
 
34
 
 
35
Add Morphism natural_isomorphism with signature Eq1 ==> Eq2 as natural_isomorphism_wd.
 
36
Proof.
 
37
unfold natural_isomorphism.
 
38
intros n m Eqxy.
 
39
apply NAxiomsMod1.recursion_wd with (Aeq := Eq2).
 
40
reflexivity.
 
41
unfold fun2_eq. intros _ _ _ y' y'' H. now apply NBasePropMod2.succ_wd.
 
42
assumption.
 
43
Qed.
 
44
 
 
45
Theorem natural_isomorphism_0 : natural_isomorphism O1 == O2.
 
46
Proof.
 
47
unfold natural_isomorphism; now rewrite NAxiomsMod1.recursion_0.
 
48
Qed.
 
49
 
 
50
Theorem natural_isomorphism_succ :
 
51
  forall n : N1, natural_isomorphism (S1 n) == S2 (natural_isomorphism n).
 
52
Proof.
 
53
unfold natural_isomorphism.
 
54
intro n. now rewrite (@NAxiomsMod1.recursion_succ N2 NAxiomsMod2.Neq) ;
 
55
[ | | unfold fun2_wd; intros; apply NBasePropMod2.succ_wd].
 
56
Qed.
 
57
 
 
58
Theorem hom_nat_iso : homomorphism natural_isomorphism.
 
59
Proof.
 
60
unfold homomorphism, natural_isomorphism; split;
 
61
[exact natural_isomorphism_0 | exact natural_isomorphism_succ].
 
62
Qed.
 
63
 
 
64
End Homomorphism.
 
65
 
 
66
Module Inverse (NAxiomsMod1 NAxiomsMod2 : NAxiomsSig).
 
67
 
 
68
Module Import NBasePropMod1 := NBasePropFunct NAxiomsMod1.
 
69
(* This makes the tactic induct available. Since it is taken from
 
70
(NBasePropFunct NAxiomsMod1), it refers to induction on N1. *)
 
71
 
 
72
Module Hom12 := Homomorphism NAxiomsMod1 NAxiomsMod2.
 
73
Module Hom21 := Homomorphism NAxiomsMod2 NAxiomsMod1.
 
74
 
 
75
Notation Local N1 := NAxiomsMod1.N.
 
76
Notation Local N2 := NAxiomsMod2.N.
 
77
Notation Local h12 := Hom12.natural_isomorphism.
 
78
Notation Local h21 := Hom21.natural_isomorphism.
 
79
 
 
80
Notation Local "n == m" := (NAxiomsMod1.Neq n m) (at level 70, no associativity).
 
81
 
 
82
Lemma inverse_nat_iso : forall n : N1, h21 (h12 n) == n.
 
83
Proof.
 
84
induct n.
 
85
now rewrite Hom12.natural_isomorphism_0, Hom21.natural_isomorphism_0.
 
86
intros n IH.
 
87
now rewrite Hom12.natural_isomorphism_succ, Hom21.natural_isomorphism_succ, IH.
 
88
Qed.
 
89
 
 
90
End Inverse.
 
91
 
 
92
Module Isomorphism (NAxiomsMod1 NAxiomsMod2 : NAxiomsSig).
 
93
 
 
94
Module Hom12 := Homomorphism NAxiomsMod1 NAxiomsMod2.
 
95
Module Hom21 := Homomorphism NAxiomsMod2 NAxiomsMod1.
 
96
 
 
97
Module Inverse12 := Inverse NAxiomsMod1 NAxiomsMod2.
 
98
Module Inverse21 := Inverse NAxiomsMod2 NAxiomsMod1.
 
99
 
 
100
Notation Local N1 := NAxiomsMod1.N.
 
101
Notation Local N2 := NAxiomsMod2.N.
 
102
Notation Local Eq1 := NAxiomsMod1.Neq.
 
103
Notation Local Eq2 := NAxiomsMod2.Neq.
 
104
Notation Local h12 := Hom12.natural_isomorphism.
 
105
Notation Local h21 := Hom21.natural_isomorphism.
 
106
 
 
107
Definition isomorphism (f1 : N1 -> N2) (f2 : N2 -> N1) : Prop :=
 
108
  Hom12.homomorphism f1 /\ Hom21.homomorphism f2 /\
 
109
  forall n : N1, Eq1 (f2 (f1 n)) n /\
 
110
  forall n : N2, Eq2 (f1 (f2 n)) n.
 
111
 
 
112
Theorem iso_nat_iso : isomorphism h12 h21.
 
113
Proof.
 
114
unfold isomorphism.
 
115
split. apply Hom12.hom_nat_iso.
 
116
split. apply Hom21.hom_nat_iso.
 
117
split. apply Inverse12.inverse_nat_iso.
 
118
apply Inverse21.inverse_nat_iso.
 
119
Qed.
 
120
 
 
121
End Isomorphism.
 
122