← Back to branch summary

~ubuntu-branches/ubuntu/wily/coq-doc/wily

« back to all changes in this revision

Viewing changes to theories/ZArith/Znat.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

Show diffs side-by-side

added added

removed removed

Lines of Context:
theories/ZArith/Znat.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
 
 
9
(*i $Id: Znat.v 10726 2008-03-28 18:15:23Z notin $ i*)
 
10
 
 
11
(** Binary Integers (Pierre Crégut, CNET, Lannion, France) *)
 
12
 
 
13
Require Export Arith_base.
 
14
Require Import BinPos.
 
15
Require Import BinInt.
 
16
Require Import Zcompare.
 
17
Require Import Zorder.
 
18
Require Import Decidable.
 
19
Require Import Peano_dec.
 
20
Require Import Min Max Zmin Zmax.
 
21
Require Export Compare_dec.
 
22
 
 
23
Open Local Scope Z_scope.
 
24
 
 
25
Definition neq (x y:nat) := x <> y.
 
26
 
 
27
(************************************************)
 
28
(** Properties of the injection from nat into Z *)
 
29
 
 
30
(** Injection and successor *)
 
31
 
 
32
Theorem inj_0 : Z_of_nat 0 = 0%Z.
 
33
Proof.
 
34
  reflexivity.
 
35
Qed.
 
36
 
 
37
Theorem inj_S : forall n:nat, Z_of_nat (S n) = Zsucc (Z_of_nat n).
 
38
Proof.
 
39
  intro y; induction y as [| n H];
 
40
    [ unfold Zsucc in |- *; simpl in |- *; trivial with arith
 
41
      | change (Zpos (Psucc (P_of_succ_nat n)) = Zsucc (Z_of_nat (S n))) in |- *;
 
42
        rewrite Zpos_succ_morphism; trivial with arith ].
 
43
Qed.
 
44
 
 
45
(** Injection and equality. *)
 
46
 
 
47
Theorem inj_eq : forall n m:nat, n = m -> Z_of_nat n = Z_of_nat m.
 
48
Proof.
 
49
  intros x y H; rewrite H; trivial with arith.
 
50
Qed.
 
51
 
 
52
Theorem inj_neq : forall n m:nat, neq n m -> Zne (Z_of_nat n) (Z_of_nat m).
 
53
Proof.
 
54
  unfold neq, Zne, not in |- *; intros x y H1 H2; apply H1; generalize H2;
 
55
    case x; case y; intros;
 
56
      [ auto with arith
 
57
        | discriminate H0
 
58
        | discriminate H0
 
59
        | simpl in H0; injection H0;
 
60
          do 2 rewrite <- nat_of_P_o_P_of_succ_nat_eq_succ; 
 
61
            intros E; rewrite E; auto with arith ].
 
62
Qed. 
 
63
 
 
64
Theorem inj_eq_rev : forall n m:nat, Z_of_nat n = Z_of_nat m -> n = m.
 
65
Proof.
 
66
  intros x y H.
 
67
  destruct (eq_nat_dec x y) as [H'|H']; auto.
 
68
  elimtype False.
 
69
  exact (inj_neq _ _ H' H).
 
70
Qed.
 
71
 
 
72
Theorem inj_eq_iff : forall n m:nat, n=m <-> Z_of_nat n = Z_of_nat m.
 
73
Proof.
 
74
 split; [apply inj_eq | apply inj_eq_rev].
 
75
Qed.
 
76
 
 
77
 
 
78
(** Injection and order relations: *)
 
79
 
 
80
(** One way ... *)
 
81
 
 
82
Theorem inj_le : forall n m:nat, (n <= m)%nat -> Z_of_nat n <= Z_of_nat m.
 
83
Proof.
 
84
  intros x y; intros H; elim H;
 
85
    [ unfold Zle in |- *; elim (Zcompare_Eq_iff_eq (Z_of_nat x) (Z_of_nat x));
 
86
      intros H1 H2; rewrite H2; [ discriminate | trivial with arith ]
 
87
      | intros m H1 H2; apply Zle_trans with (Z_of_nat m);
 
88
        [ assumption | rewrite inj_S; apply Zle_succ ] ].
 
89
Qed.
 
90
 
 
91
Theorem inj_lt : forall n m:nat, (n < m)%nat -> Z_of_nat n < Z_of_nat m.
 
92
Proof.
 
93
  intros x y H; apply Zgt_lt; apply Zlt_succ_gt; rewrite <- inj_S; apply inj_le;
 
94
    exact H.
 
95
Qed.
 
96
 
 
97
Theorem inj_ge : forall n m:nat, (n >= m)%nat -> Z_of_nat n >= Z_of_nat m.
 
98
Proof.
 
99
  intros x y H; apply Zle_ge; apply inj_le; apply H.
 
100
Qed.
 
101
 
 
102
Theorem inj_gt : forall n m:nat, (n > m)%nat -> Z_of_nat n > Z_of_nat m.
 
103
Proof.
 
104
  intros x y H; apply Zlt_gt; apply inj_lt; exact H.
 
105
Qed.
 
106
 
 
107
(** The other way ... *)
 
108
 
 
109
Theorem inj_le_rev : forall n m:nat, Z_of_nat n <= Z_of_nat m -> (n <= m)%nat.
 
110
Proof.
 
111
  intros x y H.
 
112
  destruct (le_lt_dec x y) as [H0|H0]; auto.
 
113
  elimtype False.
 
114
  assert (H1:=inj_lt _ _ H0).
 
115
  red in H; red in H1.
 
116
  rewrite <- Zcompare_antisym in H; rewrite H1 in H; auto.
 
117
Qed.
 
118
 
 
119
Theorem inj_lt_rev : forall n m:nat, Z_of_nat n < Z_of_nat m -> (n < m)%nat.
 
120
Proof.
 
121
  intros x y H.
 
122
  destruct (le_lt_dec y x) as [H0|H0]; auto.
 
123
  elimtype False.
 
124
  assert (H1:=inj_le _ _ H0).
 
125
  red in H; red in H1.
 
126
  rewrite <- Zcompare_antisym in H1; rewrite H in H1; auto.
 
127
Qed.
 
128
 
 
129
Theorem inj_ge_rev : forall n m:nat, Z_of_nat n >= Z_of_nat m -> (n >= m)%nat.
 
130
Proof.
 
131
  intros x y H.
 
132
  destruct (le_lt_dec y x) as [H0|H0]; auto.
 
133
  elimtype False.
 
134
  assert (H1:=inj_gt _ _ H0).
 
135
  red in H; red in H1.
 
136
  rewrite <- Zcompare_antisym in H; rewrite H1 in H; auto.
 
137
Qed.
 
138
 
 
139
Theorem inj_gt_rev : forall n m:nat, Z_of_nat n > Z_of_nat m -> (n > m)%nat.
 
140
Proof.
 
141
  intros x y H.
 
142
  destruct (le_lt_dec x y) as [H0|H0]; auto.
 
143
  elimtype False.
 
144
  assert (H1:=inj_ge _ _ H0).
 
145
  red in H; red in H1.
 
146
  rewrite <- Zcompare_antisym in H1; rewrite H in H1; auto.
 
147
Qed.
 
148
 
 
149
(* Both ways ... *)
 
150
 
 
151
Theorem inj_le_iff : forall n m:nat, (n<=m)%nat <-> Z_of_nat n <= Z_of_nat m.
 
152
Proof.
 
153
 split; [apply inj_le | apply inj_le_rev].
 
154
Qed.
 
155
 
 
156
Theorem inj_lt_iff : forall n m:nat, (n<m)%nat <-> Z_of_nat n < Z_of_nat m.
 
157
Proof.
 
158
 split; [apply inj_lt | apply inj_lt_rev].
 
159
Qed.
 
160
 
 
161
Theorem inj_ge_iff : forall n m:nat, (n>=m)%nat <-> Z_of_nat n >= Z_of_nat m.
 
162
Proof.
 
163
 split; [apply inj_ge | apply inj_ge_rev].
 
164
Qed.
 
165
 
 
166
Theorem inj_gt_iff : forall n m:nat, (n>m)%nat <-> Z_of_nat n > Z_of_nat m.
 
167
Proof.
 
168
 split; [apply inj_gt | apply inj_gt_rev].
 
169
Qed.
 
170
 
 
171
(** Injection and usual operations *)
 
172
 
 
173
Theorem inj_plus : forall n m:nat, Z_of_nat (n + m) = Z_of_nat n + Z_of_nat m.
 
174
Proof.
 
175
  intro x; induction x as [| n H]; intro y; destruct y as [| m];
 
176
    [ simpl in |- *; trivial with arith
 
177
      | simpl in |- *; trivial with arith
 
178
      | simpl in |- *; rewrite <- plus_n_O; trivial with arith
 
179
      | change (Z_of_nat (S (n + S m)) = Z_of_nat (S n) + Z_of_nat (S m)) in |- *;
 
180
        rewrite inj_S; rewrite H; do 2 rewrite inj_S; rewrite Zplus_succ_l;
 
181
          trivial with arith ].
 
182
Qed.
 
183
 
 
184
Theorem inj_mult : forall n m:nat, Z_of_nat (n * m) = Z_of_nat n * Z_of_nat m.
 
185
Proof.
 
186
  intro x; induction x as [| n H];
 
187
    [ simpl in |- *; trivial with arith
 
188
      | intro y; rewrite inj_S; rewrite <- Zmult_succ_l_reverse; rewrite <- H;
 
189
        rewrite <- inj_plus; simpl in |- *; rewrite plus_comm; 
 
190
          trivial with arith ].
 
191
Qed.
 
192
 
 
193
Theorem inj_minus1 :
 
194
  forall n m:nat, (m <= n)%nat -> Z_of_nat (n - m) = Z_of_nat n - Z_of_nat m.
 
195
Proof.
 
196
  intros x y H; apply (Zplus_reg_l (Z_of_nat y)); unfold Zminus in |- *;
 
197
    rewrite Zplus_permute; rewrite Zplus_opp_r; rewrite <- inj_plus;
 
198
      rewrite <- (le_plus_minus y x H); rewrite Zplus_0_r; 
 
199
        trivial with arith.
 
200
Qed.
 
201
 
 
202
Theorem inj_minus2 : forall n m:nat, (m > n)%nat -> Z_of_nat (n - m) = 0.
 
203
Proof.
 
204
  intros x y H; rewrite not_le_minus_0;
 
205
    [ trivial with arith | apply gt_not_le; assumption ].
 
206
Qed.
 
207
 
 
208
Theorem inj_minus : forall n m:nat, 
 
209
 Z_of_nat (minus n m) = Zmax 0 (Z_of_nat n - Z_of_nat m).
 
210
Proof.
 
211
 intros.
 
212
 rewrite Zmax_comm.
 
213
 unfold Zmax.
 
214
 destruct (le_lt_dec m n) as [H|H].
 
215
 
 
216
 rewrite (inj_minus1 _ _ H).
 
217
 assert (H':=Zle_minus_le_0 _ _ (inj_le _ _ H)).
 
218
 unfold Zle in H'.
 
219
 rewrite <- Zcompare_antisym in H'.
 
220
 destruct Zcompare; simpl in *; intuition.
 
221
 
 
222
 rewrite (inj_minus2 _ _ H).
 
223
 assert (H':=Zplus_lt_compat_r _ _ (- Z_of_nat m) (inj_lt _ _ H)).
 
224
 rewrite Zplus_opp_r in H'.
 
225
 unfold Zminus; rewrite H'; auto.
 
226
Qed.
 
227
 
 
228
Theorem inj_min : forall n m:nat, 
 
229
  Z_of_nat (min n m) = Zmin (Z_of_nat n) (Z_of_nat m).
 
230
Proof.
 
231
 induction n; destruct m; try (compute; auto; fail).
 
232
 simpl min.
 
233
 do 3 rewrite inj_S.
 
234
 rewrite <- Zsucc_min_distr; f_equal; auto.
 
235
Qed.
 
236
 
 
237
Theorem inj_max : forall n m:nat, 
 
238
  Z_of_nat (max n m) = Zmax (Z_of_nat n) (Z_of_nat m).
 
239
Proof.
 
240
 induction n; destruct m; try (compute; auto; fail).
 
241
 simpl max.
 
242
 do 3 rewrite inj_S.
 
243
 rewrite <- Zsucc_max_distr; f_equal; auto.
 
244
Qed.
 
245
 
 
246
(** Composition of injections **)
 
247
 
 
248
Theorem Zpos_eq_Z_of_nat_o_nat_of_P :
 
249
  forall p:positive, Zpos p = Z_of_nat (nat_of_P p).
 
250
Proof.
 
251
  intros x; elim x; simpl in |- *; auto.
 
252
  intros p H; rewrite ZL6.
 
253
  apply f_equal with (f := Zpos).
 
254
  apply nat_of_P_inj.
 
255
  rewrite nat_of_P_o_P_of_succ_nat_eq_succ; unfold nat_of_P in |- *;
 
256
    simpl in |- *.
 
257
  rewrite ZL6; auto.
 
258
  intros p H; unfold nat_of_P in |- *; simpl in |- *.
 
259
  rewrite ZL6; simpl in |- *.
 
260
  rewrite inj_plus; repeat rewrite <- H.
 
261
  rewrite Zpos_xO; simpl in |- *; rewrite Pplus_diag; reflexivity.
 
262
Qed.
 
263
 
 
264
(** Misc *)
 
265
 
 
266
Theorem intro_Z :
 
267
  forall n:nat,  exists y : Z, Z_of_nat n = y /\ 0 <= y * 1 + 0.
 
268
Proof.
 
269
  intros x; exists (Z_of_nat x); split;
 
270
    [ trivial with arith
 
271
      | rewrite Zmult_comm; rewrite Zmult_1_l; rewrite Zplus_0_r;
 
272
        unfold Zle in |- *; elim x; intros; simpl in |- *; 
 
273
          discriminate ].
 
274
Qed.
 
275
 
 
276
Lemma Zpos_P_of_succ_nat : forall n:nat, 
 
277
 Zpos (P_of_succ_nat n) = Zsucc (Z_of_nat n).
 
278
Proof.
 
279
  intros.
 
280
  unfold Z_of_nat.
 
281
  destruct n.
 
282
  simpl; auto.
 
283
  simpl (P_of_succ_nat (S n)).
 
284
  apply Zpos_succ_morphism.
 
285
Qed.