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Viewing changes to theories/ZArith/ZOdiv_def.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

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Lines of Context:
theories/ZArith/ZOdiv_def.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
 
 
9
 
 
10
Require Import BinPos BinNat Nnat ZArith_base.
 
11
 
 
12
Open Scope Z_scope.
 
13
 
 
14
Definition NPgeb (a:N)(b:positive) :=
 
15
  match a with
 
16
   | N0 => false
 
17
   | Npos na => match Pcompare na b Eq with Lt => false | _ => true end
 
18
  end.
 
19
 
 
20
Fixpoint Pdiv_eucl (a b:positive) {struct a} : N * N :=
 
21
  match a with
 
22
    | xH => 
 
23
       match b with xH => (1, 0)%N | _ => (0, 1)%N end
 
24
    | xO a' =>
 
25
       let (q, r) := Pdiv_eucl a' b in
 
26
       let r' := (2 * r)%N in
 
27
        if (NPgeb r' b) then (2 * q + 1, (Nminus r'  (Npos b)))%N
 
28
        else  (2 * q, r')%N
 
29
    | xI a' =>
 
30
       let (q, r) := Pdiv_eucl a' b in
 
31
       let r' := (2 * r + 1)%N in
 
32
        if (NPgeb r' b) then (2 * q + 1, (Nminus r' (Npos b)))%N
 
33
        else  (2 * q, r')%N
 
34
  end.
 
35
 
 
36
Definition ZOdiv_eucl (a b:Z) : Z * Z := 
 
37
  match a, b with
 
38
   | Z0,  _ => (Z0, Z0)
 
39
   | _, Z0  => (Z0, a)
 
40
   | Zpos na, Zpos nb => 
 
41
         let (nq, nr) := Pdiv_eucl na nb in 
 
42
         (Z_of_N nq, Z_of_N nr)
 
43
   | Zneg na, Zpos nb => 
 
44
         let (nq, nr) := Pdiv_eucl na nb in 
 
45
         (Zopp (Z_of_N nq), Zopp (Z_of_N nr))
 
46
   | Zpos na, Zneg nb => 
 
47
         let (nq, nr) := Pdiv_eucl na nb in 
 
48
         (Zopp (Z_of_N nq), Z_of_N nr)
 
49
   | Zneg na, Zneg nb => 
 
50
         let (nq, nr) := Pdiv_eucl na nb in 
 
51
         (Z_of_N nq, Zopp (Z_of_N nr))
 
52
  end.
 
53
 
 
54
Definition ZOdiv a b := fst (ZOdiv_eucl a b).
 
55
Definition ZOmod a b := snd (ZOdiv_eucl a b).
 
56
 
 
57
 
 
58
Definition Ndiv_eucl (a b:N) : N * N := 
 
59
  match a, b with
 
60
   | N0,  _ => (N0, N0)
 
61
   | _, N0  => (N0, a)
 
62
   | Npos na, Npos nb => Pdiv_eucl na nb
 
63
  end.
 
64
 
 
65
Definition Ndiv a b := fst (Ndiv_eucl a b).
 
66
Definition Nmod a b := snd (Ndiv_eucl a b).
 
67
 
 
68
 
 
69
(* Proofs of specifications for these euclidean divisions. *)
 
70
 
 
71
Theorem NPgeb_correct: forall (a:N)(b:positive), 
 
72
  if NPgeb a b then a = (Nminus a (Npos b) + Npos b)%N else True.
 
73
Proof.
 
74
  destruct a; intros; simpl; auto.
 
75
  generalize (Pcompare_Eq_eq p b).
 
76
  case_eq (Pcompare p b Eq); intros; auto.
 
77
  rewrite H0; auto. 
 
78
  now rewrite Pminus_mask_diag.
 
79
  destruct (Pminus_mask_Gt p b H) as [d [H2 [H3 _]]].
 
80
  rewrite H2. rewrite <- H3.
 
81
  simpl; f_equal; apply Pplus_comm.
 
82
Qed.
 
83
 
 
84
Hint Rewrite Z_of_N_plus Z_of_N_mult Z_of_N_minus Zmult_1_l Zmult_assoc
 
85
 Zmult_plus_distr_l Zmult_plus_distr_r : zdiv. 
 
86
Hint Rewrite <- Zplus_assoc : zdiv. 
 
87
 
 
88
Theorem Pdiv_eucl_correct: forall a b,
 
89
  let (q,r) := Pdiv_eucl a b in 
 
90
  Zpos a = Z_of_N q * Zpos b + Z_of_N r.
 
91
Proof.
 
92
  induction a; cbv beta iota delta [Pdiv_eucl]; fold Pdiv_eucl; cbv zeta.
 
93
  intros b; generalize (IHa b); case Pdiv_eucl.
 
94
    intros q1 r1 Hq1.
 
95
     generalize (NPgeb_correct (2 * r1 + 1) b); case NPgeb; intros H.
 
96
     set (u := Nminus (2 * r1 + 1) (Npos b)) in * |- *.
 
97
     assert (HH: Z_of_N u = (Z_of_N (2 * r1 + 1) - Zpos b)%Z).
 
98
        rewrite H; autorewrite with zdiv; simpl.
 
99
        rewrite Zplus_comm, Zminus_plus; trivial.
 
100
     rewrite HH; autorewrite with zdiv; simpl Z_of_N.
 
101
     rewrite Zpos_xI, Hq1.
 
102
     autorewrite with zdiv; f_equal; rewrite Zplus_minus; trivial.
 
103
     rewrite Zpos_xI, Hq1; autorewrite with zdiv; auto.
 
104
  intros b; generalize (IHa b); case Pdiv_eucl.
 
105
    intros q1 r1 Hq1.
 
106
     generalize (NPgeb_correct (2 * r1) b); case NPgeb; intros H.
 
107
     set (u := Nminus (2 * r1) (Npos b)) in * |- *.
 
108
     assert (HH: Z_of_N u = (Z_of_N (2 * r1) - Zpos b)%Z).
 
109
        rewrite H; autorewrite with zdiv; simpl.
 
110
        rewrite Zplus_comm, Zminus_plus; trivial.
 
111
     rewrite HH; autorewrite with zdiv; simpl Z_of_N.
 
112
     rewrite Zpos_xO, Hq1.
 
113
     autorewrite with zdiv; f_equal; rewrite Zplus_minus; trivial.
 
114
     rewrite Zpos_xO, Hq1; autorewrite with zdiv; auto.
 
115
  destruct b; auto.
 
116
Qed.
 
117
 
 
118
Theorem ZOdiv_eucl_correct: forall a b,
 
119
  let (q,r) := ZOdiv_eucl a b in a = q * b + r.
 
120
Proof.
 
121
  destruct a; destruct b; simpl; auto;
 
122
  generalize (Pdiv_eucl_correct p p0); case Pdiv_eucl; auto; intros;
 
123
  try change (Zneg p) with (Zopp (Zpos p)); rewrite H.
 
124
    destruct n; auto.
 
125
  repeat (rewrite Zopp_plus_distr || rewrite Zopp_mult_distr_l); trivial.
 
126
  repeat (rewrite Zopp_plus_distr || rewrite Zopp_mult_distr_r); trivial.
 
127
Qed.
 
128
 
 
129
Theorem Ndiv_eucl_correct: forall a b,
 
130
  let (q,r) := Ndiv_eucl a b in a = (q * b + r)%N.
 
131
Proof.
 
132
  destruct a; destruct b; simpl; auto;
 
133
  generalize (Pdiv_eucl_correct p p0); case Pdiv_eucl; auto; intros;
 
134
  destruct n; destruct n0; simpl; simpl in H; try discriminate;
 
135
  injection H; intros; subst; trivial.
 
136
Qed.