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Viewing changes to theories/Sets/Infinite_sets.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

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removed removed

Lines of Context:
theories/Sets/Infinite_sets.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
(****************************************************************************)
 
9
(*                                                                          *)
 
10
(*                         Naive Set Theory in Coq                          *)
 
11
(*                                                                          *)
 
12
(*                     INRIA                        INRIA                   *)
 
13
(*              Rocquencourt                        Sophia-Antipolis        *)
 
14
(*                                                                          *)
 
15
(*                                 Coq V6.1                                 *)
 
16
(*                                                                          *)
 
17
(*                               Gilles Kahn                                *)
 
18
(*                               Gerard Huet                                *)
 
19
(*                                                                          *)
 
20
(*                                                                          *)
 
21
(*                                                                          *)
 
22
(* Acknowledgments: This work was started in July 1993 by F. Prost. Thanks  *)
 
23
(* to the Newton Institute for providing an exceptional work environment    *)
 
24
(* in Summer 1995. Several developments by E. Ledinot were an inspiration.  *)
 
25
(****************************************************************************)
 
26
 
 
27
(*i $Id: Infinite_sets.v 10637 2008-03-07 23:52:56Z letouzey $ i*)
 
28
 
 
29
Require Export Finite_sets.
 
30
Require Export Constructive_sets.
 
31
Require Export Classical_Type.
 
32
Require Export Classical_sets.
 
33
Require Export Powerset.
 
34
Require Export Powerset_facts.
 
35
Require Export Powerset_Classical_facts.
 
36
Require Export Gt.
 
37
Require Export Lt.
 
38
Require Export Le.
 
39
Require Export Finite_sets_facts.
 
40
Require Export Image.
 
41
 
 
42
Section Approx.
 
43
  Variable U : Type.
 
44
 
 
45
  Inductive Approximant (A X:Ensemble U) : Prop :=
 
46
    Defn_of_Approximant : Finite U X -> Included U X A -> Approximant A X.
 
47
End Approx.
 
48
 
 
49
Hint Resolve Defn_of_Approximant.
 
50
 
 
51
Section Infinite_sets.
 
52
  Variable U : Type.
 
53
  
 
54
  Lemma make_new_approximant :
 
55
    forall A X:Ensemble U,
 
56
      ~ Finite U A -> Approximant U A X -> Inhabited U (Setminus U A X).
 
57
  Proof.
 
58
    intros A X H' H'0.
 
59
    elim H'0; intros H'1 H'2.
 
60
    apply Strict_super_set_contains_new_element; auto with sets.
 
61
    red in |- *; intro H'3; apply H'.
 
62
    rewrite <- H'3; auto with sets.
 
63
  Qed.
 
64
  
 
65
  Lemma approximants_grow :
 
66
    forall A X:Ensemble U,
 
67
      ~ Finite U A ->
 
68
      forall n:nat,
 
69
        cardinal U X n ->
 
70
        Included U X A ->  exists Y : _, cardinal U Y (S n) /\ Included U Y A.
 
71
  Proof.
 
72
    intros A X H' n H'0; elim H'0; auto with sets.
 
73
    intro H'1.
 
74
    cut (Inhabited U (Setminus U A (Empty_set U))).
 
75
    intro H'2; elim H'2.
 
76
    intros x H'3.
 
77
    exists (Add U (Empty_set U) x); auto with sets.
 
78
    split.
 
79
    apply card_add; auto with sets.
 
80
    cut (In U A x).
 
81
    intro H'4; red in |- *; auto with sets.
 
82
    intros x0 H'5; elim H'5; auto with sets.
 
83
    intros x1 H'6; elim H'6; auto with sets.
 
84
    elim H'3; auto with sets.
 
85
    apply make_new_approximant; auto with sets.
 
86
    intros A0 n0 H'1 H'2 x H'3 H'5.
 
87
    lapply H'2; [ intro H'6; elim H'6; clear H'2 | clear H'2 ]; auto with sets.
 
88
    intros x0 H'2; try assumption.
 
89
    elim H'2; intros H'7 H'8; try exact H'8; clear H'2.
 
90
    elim (make_new_approximant A x0); auto with sets.
 
91
    intros x1 H'2; try assumption.
 
92
    exists (Add U x0 x1); auto with sets.
 
93
    split.
 
94
    apply card_add; auto with sets.
 
95
    elim H'2; auto with sets.
 
96
    red in |- *.
 
97
    intros x2 H'9; elim H'9; auto with sets.
 
98
    intros x3 H'10; elim H'10; auto with sets.
 
99
    elim H'2; auto with sets.
 
100
    auto with sets.
 
101
    apply Defn_of_Approximant; auto with sets.
 
102
    apply cardinal_finite with (n := S n0); auto with sets.
 
103
  Qed.
 
104
  
 
105
  Lemma approximants_grow' :
 
106
    forall A X:Ensemble U,
 
107
      ~ Finite U A ->
 
108
      forall n:nat,
 
109
        cardinal U X n ->
 
110
        Approximant U A X ->
 
111
        exists Y : _, cardinal U Y (S n) /\ Approximant U A Y.
 
112
  Proof.
 
113
    intros A X H' n H'0 H'1; try assumption.
 
114
    elim H'1.
 
115
    intros H'2 H'3.
 
116
    elimtype (exists Y : _, cardinal U Y (S n) /\ Included U Y A).
 
117
    intros x H'4; elim H'4; intros H'5 H'6; try exact H'5; clear H'4.
 
118
    exists x; auto with sets.
 
119
    split; [ auto with sets | idtac ].
 
120
    apply Defn_of_Approximant; auto with sets.
 
121
    apply cardinal_finite with (n := S n); auto with sets.
 
122
    apply approximants_grow with (X := X); auto with sets.
 
123
  Qed.
 
124
  
 
125
  Lemma approximant_can_be_any_size :
 
126
    forall A X:Ensemble U,
 
127
      ~ Finite U A ->
 
128
      forall n:nat,  exists Y : _, cardinal U Y n /\ Approximant U A Y.
 
129
  Proof.
 
130
    intros A H' H'0 n; elim n.
 
131
    exists (Empty_set U); auto with sets.
 
132
    intros n0 H'1; elim H'1.
 
133
    intros x H'2.
 
134
    apply approximants_grow' with (X := x); tauto.
 
135
  Qed.
 
136
 
 
137
  Variable V : Type.
 
138
  
 
139
  Theorem Image_set_continuous :
 
140
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (X:Ensemble V),
 
141
      Finite V X ->
 
142
      Included V X (Im U V A f) ->
 
143
      exists n : _,
 
144
        (exists Y : _, (cardinal U Y n /\ Included U Y A) /\ Im U V Y f = X).
 
145
  Proof.
 
146
    intros A f X H'; elim H'.
 
147
    intro H'0; exists 0.
 
148
    exists (Empty_set U); auto with sets.
 
149
    intros A0 H'0 H'1 x H'2 H'3; try assumption.
 
150
    lapply H'1;
 
151
      [ intro H'4; elim H'4; intros n E; elim E; clear H'4 H'1 | clear H'1 ];
 
152
      auto with sets.
 
153
    intros x0 H'1; try assumption.
 
154
    exists (S n); try assumption.
 
155
    elim H'1; intros H'4 H'5; elim H'4; intros H'6 H'7; try exact H'6;
 
156
      clear H'4 H'1.
 
157
    clear E.
 
158
    generalize H'2.
 
159
    rewrite <- H'5.
 
160
    intro H'1; try assumption.
 
161
    red in H'3.
 
162
    generalize (H'3 x).
 
163
    intro H'4; lapply H'4; [ intro H'8; try exact H'8; clear H'4 | clear H'4 ];
 
164
      auto with sets.
 
165
    specialize Im_inv with (U := U) (V := V) (X := A) (f := f) (y := x);
 
166
      intro H'11; lapply H'11; [ intro H'13; elim H'11; clear H'11 | clear H'11 ];
 
167
        auto with sets.
 
168
    intros x1 H'4; try assumption.
 
169
    apply ex_intro with (x := Add U x0 x1).
 
170
    split; [ split; [ try assumption | idtac ] | idtac ].
 
171
    apply card_add; auto with sets.
 
172
    red in |- *; intro H'9; try exact H'9.
 
173
    apply H'1.
 
174
    elim H'4; intros H'10 H'11; rewrite <- H'11; clear H'4; auto with sets.
 
175
    elim H'4; intros H'9 H'10; try exact H'9; clear H'4; auto with sets.
 
176
    red in |- *; auto with sets.
 
177
    intros x2 H'4; elim H'4; auto with sets.
 
178
    intros x3 H'11; elim H'11; auto with sets.
 
179
    elim H'4; intros H'9 H'10; rewrite <- H'10; clear H'4; auto with sets.
 
180
    apply Im_add; auto with sets.
 
181
  Qed.
 
182
 
 
183
  Theorem Image_set_continuous' :
 
184
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (X:Ensemble V),
 
185
      Approximant V (Im U V A f) X ->
 
186
      exists Y : _, Approximant U A Y /\ Im U V Y f = X.
 
187
  Proof.
 
188
    intros A f X H'; try assumption.
 
189
    cut
 
190
      (exists n : _,
 
191
        (exists Y : _, (cardinal U Y n /\ Included U Y A) /\ Im U V Y f = X)).
 
192
    intro H'0; elim H'0; intros n E; elim E; clear H'0.
 
193
    intros x H'0; try assumption.
 
194
    elim H'0; intros H'1 H'2; elim H'1; intros H'3 H'4; try exact H'3;
 
195
      clear H'1 H'0; auto with sets.
 
196
    exists x.
 
197
    split; [ idtac | try assumption ].
 
198
    apply Defn_of_Approximant; auto with sets.
 
199
    apply cardinal_finite with (n := n); auto with sets.
 
200
    apply Image_set_continuous; auto with sets.
 
201
    elim H'; auto with sets.
 
202
    elim H'; auto with sets.
 
203
  Qed.
 
204
 
 
205
  Theorem Pigeonhole_bis :
 
206
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V),
 
207
      ~ Finite U A -> Finite V (Im U V A f) -> ~ injective U V f.
 
208
  Proof.
 
209
    intros A f H'0 H'1; try assumption.
 
210
    elim (Image_set_continuous' A f (Im U V A f)); auto with sets.
 
211
    intros x H'2; elim H'2; intros H'3 H'4; try exact H'3; clear H'2.
 
212
    elim (make_new_approximant A x); auto with sets.
 
213
    intros x0 H'2; elim H'2.
 
214
    intros H'5 H'6.
 
215
    elim (finite_cardinal V (Im U V A f)); auto with sets.
 
216
    intros n E.
 
217
    elim (finite_cardinal U x); auto with sets.
 
218
    intros n0 E0.
 
219
    apply Pigeonhole with (A := Add U x x0) (n := S n0) (n' := n).
 
220
    apply card_add; auto with sets.
 
221
    rewrite (Im_add U V x x0 f); auto with sets.
 
222
    cut (In V (Im U V x f) (f x0)).
 
223
    intro H'8.
 
224
    rewrite (Non_disjoint_union V (Im U V x f) (f x0)); auto with sets.
 
225
    rewrite H'4; auto with sets.
 
226
    elim (Extension V (Im U V x f) (Im U V A f)); auto with sets.
 
227
    apply le_lt_n_Sm.
 
228
    apply cardinal_decreases with (U := U) (V := V) (A := x) (f := f);
 
229
      auto with sets.
 
230
    rewrite H'4; auto with sets.
 
231
    elim H'3; auto with sets.
 
232
  Qed.
 
233
  
 
234
  Theorem Pigeonhole_ter :
 
235
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
236
      injective U V f -> Finite V (Im U V A f) -> Finite U A.
 
237
  Proof.
 
238
    intros A f H' H'0 H'1.
 
239
    apply NNPP.
 
240
    red in |- *; intro H'2.
 
241
    elim (Pigeonhole_bis A f); auto with sets.
 
242
  Qed.
 
243
 
 
244
End Infinite_sets.