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Viewing changes to theories/Sets/Image.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

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Lines of Context:
theories/Sets/Image.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
(****************************************************************************)
 
9
(*                                                                          *)
 
10
(*                         Naive Set Theory in Coq                          *)
 
11
(*                                                                          *)
 
12
(*                     INRIA                        INRIA                   *)
 
13
(*              Rocquencourt                        Sophia-Antipolis        *)
 
14
(*                                                                          *)
 
15
(*                                 Coq V6.1                                 *)
 
16
(*                                                                          *)
 
17
(*                               Gilles Kahn                                *)
 
18
(*                               Gerard Huet                                *)
 
19
(*                                                                          *)
 
20
(*                                                                          *)
 
21
(*                                                                          *)
 
22
(* Acknowledgments: This work was started in July 1993 by F. Prost. Thanks  *)
 
23
(* to the Newton Institute for providing an exceptional work environment    *)
 
24
(* in Summer 1995. Several developments by E. Ledinot were an inspiration.  *)
 
25
(****************************************************************************)
 
26
 
 
27
(*i $Id: Image.v 9245 2006-10-17 12:53:34Z notin $ i*)
 
28
 
 
29
Require Export Finite_sets.
 
30
Require Export Constructive_sets.
 
31
Require Export Classical_Type.
 
32
Require Export Classical_sets.
 
33
Require Export Powerset.
 
34
Require Export Powerset_facts.
 
35
Require Export Powerset_Classical_facts.
 
36
Require Export Gt.
 
37
Require Export Lt.
 
38
Require Export Le.
 
39
Require Export Finite_sets_facts.
 
40
 
 
41
Section Image.
 
42
  Variables U V : Type.
 
43
  
 
44
  Inductive Im (X:Ensemble U) (f:U -> V) : Ensemble V :=
 
45
    Im_intro : forall x:U, In _ X x -> forall y:V, y = f x -> In _ (Im X f) y.
 
46
  
 
47
  Lemma Im_def :
 
48
    forall (X:Ensemble U) (f:U -> V) (x:U), In _ X x -> In _ (Im X f) (f x).
 
49
  Proof.
 
50
    intros X f x H'; try assumption.
 
51
    apply Im_intro with (x := x); auto with sets.
 
52
  Qed.
 
53
 
 
54
  Lemma Im_add :
 
55
    forall (X:Ensemble U) (x:U) (f:U -> V),
 
56
      Im (Add _ X x) f = Add _ (Im X f) (f x).
 
57
  Proof.
 
58
    intros X x f.
 
59
    apply Extensionality_Ensembles.
 
60
    split; red in |- *; intros x0 H'.
 
61
    elim H'; intros.
 
62
    rewrite H0.
 
63
    elim Add_inv with U X x x1; auto using Im_def with sets.
 
64
    destruct 1; auto using Im_def with sets.
 
65
    elim Add_inv with V (Im X f) (f x) x0. 
 
66
    destruct 1 as [x0 H y H0].
 
67
    rewrite H0; auto using Im_def with sets.
 
68
    destruct 1; auto using Im_def with sets.
 
69
    trivial.
 
70
  Qed.
 
71
  
 
72
  Lemma image_empty : forall f:U -> V, Im (Empty_set U) f = Empty_set V.
 
73
  Proof.
 
74
    intro f; try assumption.
 
75
    apply Extensionality_Ensembles.
 
76
    split; auto with sets.
 
77
    red in |- *.
 
78
    intros x H'; elim H'.
 
79
    intros x0 H'0; elim H'0; auto with sets.
 
80
  Qed.
 
81
 
 
82
  Lemma finite_image :
 
83
    forall (X:Ensemble U) (f:U -> V), Finite _ X -> Finite _ (Im X f).
 
84
  Proof.
 
85
    intros X f H'; elim H'.
 
86
    rewrite (image_empty f); auto with sets.
 
87
    intros A H'0 H'1 x H'2; clear H' X.
 
88
    rewrite (Im_add A x f); auto with sets.
 
89
    apply Add_preserves_Finite; auto with sets.
 
90
  Qed.
 
91
  
 
92
  Lemma Im_inv :
 
93
    forall (X:Ensemble U) (f:U -> V) (y:V),
 
94
      In _ (Im X f) y ->  exists x : U, In _ X x /\ f x = y.
 
95
  Proof.
 
96
    intros X f y H'; elim H'.
 
97
    intros x H'0 y0 H'1; rewrite H'1.
 
98
    exists x; auto with sets.
 
99
  Qed.
 
100
  
 
101
  Definition injective (f:U -> V) := forall x y:U, f x = f y -> x = y.
 
102
  
 
103
  Lemma not_injective_elim :
 
104
    forall f:U -> V,
 
105
      ~ injective f ->  exists x : _, (exists y : _, f x = f y /\ x <> y).
 
106
  Proof.
 
107
    unfold injective in |- *; intros f H.
 
108
    cut (exists x : _, ~ (forall y:U, f x = f y -> x = y)).
 
109
    2: apply not_all_ex_not with (P := fun x:U => forall y:U, f x = f y -> x = y);
 
110
      trivial with sets.
 
111
    destruct 1 as [x C]; exists x.
 
112
    cut (exists y : _, ~ (f x = f y -> x = y)).
 
113
    2: apply not_all_ex_not with (P := fun y:U => f x = f y -> x = y);
 
114
      trivial with sets.
 
115
    destruct 1 as [y D]; exists y.
 
116
    apply imply_to_and; trivial with sets.
 
117
  Qed.
 
118
  
 
119
  Lemma cardinal_Im_intro :
 
120
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
121
      cardinal _ A n ->  exists p : nat, cardinal _ (Im A f) p.
 
122
  Proof.
 
123
    intros.
 
124
    apply finite_cardinal; apply finite_image.
 
125
    apply cardinal_finite with n; trivial with sets.
 
126
  Qed.
 
127
  
 
128
  Lemma In_Image_elim :
 
129
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V),
 
130
      injective f -> forall x:U, In _ (Im A f) (f x) -> In _ A x.
 
131
  Proof.
 
132
    intros.
 
133
    elim Im_inv with A f (f x); trivial with sets.
 
134
    intros z C; elim C; intros InAz E.
 
135
    elim (H z x E); trivial with sets.
 
136
  Qed.
 
137
  
 
138
  Lemma injective_preserves_cardinal :
 
139
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
140
      injective f ->
 
141
      cardinal _ A n -> forall n':nat, cardinal _ (Im A f) n' -> n' = n.
 
142
  Proof.
 
143
    induction 2 as [| A n H'0 H'1 x H'2]; auto with sets.
 
144
    rewrite (image_empty f).
 
145
    intros n' CE.
 
146
    apply cardinal_unicity with V (Empty_set V); auto with sets.
 
147
    intro n'.
 
148
    rewrite (Im_add A x f).
 
149
    intro H'3.
 
150
    elim cardinal_Im_intro with A f n; trivial with sets.
 
151
    intros i CI.
 
152
    lapply (H'1 i); trivial with sets.
 
153
    cut (~ In _ (Im A f) (f x)).
 
154
    intros H0 H1.
 
155
    apply cardinal_unicity with V (Add _ (Im A f) (f x)); trivial with sets.
 
156
    apply card_add; auto with sets.
 
157
    rewrite <- H1; trivial with sets.
 
158
    red in |- *; intro; apply H'2.
 
159
    apply In_Image_elim with f; trivial with sets.
 
160
  Qed.
 
161
  
 
162
  Lemma cardinal_decreases :
 
163
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
164
      cardinal U A n -> forall n':nat, cardinal V (Im A f) n' -> n' <= n.
 
165
  Proof.
 
166
    induction 1 as [| A n H'0 H'1 x H'2]; auto with sets.
 
167
    rewrite (image_empty f); intros.
 
168
    cut (n' = 0).
 
169
    intro E; rewrite E; trivial with sets.
 
170
    apply cardinal_unicity with V (Empty_set V); auto with sets.
 
171
    intro n'.
 
172
    rewrite (Im_add A x f).
 
173
    elim cardinal_Im_intro with A f n; trivial with sets.
 
174
    intros p C H'3.
 
175
    apply le_trans with (S p).
 
176
    apply card_Add_gen with V (Im A f) (f x); trivial with sets.
 
177
    apply le_n_S; auto with sets.
 
178
  Qed.
 
179
 
 
180
  Theorem Pigeonhole :
 
181
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
182
      cardinal U A n ->
 
183
      forall n':nat, cardinal V (Im A f) n' -> n' < n -> ~ injective f.
 
184
  Proof.
 
185
    unfold not in |- *; intros A f n CAn n' CIfn' ltn'n I.
 
186
    cut (n' = n).
 
187
    intro E; generalize ltn'n; rewrite E; exact (lt_irrefl n).
 
188
    apply injective_preserves_cardinal with (A := A) (f := f) (n := n);
 
189
      trivial with sets.
 
190
  Qed.
 
191
  
 
192
  Lemma Pigeonhole_principle :
 
193
    forall (A:Ensemble U) (f:U -> V) (n:nat),
 
194
      cardinal _ A n ->
 
195
      forall n':nat,
 
196
        cardinal _ (Im A f) n' ->
 
197
        n' < n ->  exists x : _, (exists y : _, f x = f y /\ x <> y).
 
198
  Proof.
 
199
    intros; apply not_injective_elim.
 
200
    apply Pigeonhole with A n n'; trivial with sets.
 
201
  Qed.
 
202
 
 
203
End Image.
 
204
 
 
205
Hint Resolve Im_def image_empty finite_image: sets v62.
 
 
b'\\ No newline at end of file'