← Back to branch summary

~ubuntu-branches/ubuntu/wily/coq-doc/wily

« back to all changes in this revision

Viewing changes to theories/Reals/Rtrigo_fun.v

  • Committer: Bazaar Package Importer
  • Author(s): Stéphane Glondu, Stéphane Glondu, Samuel Mimram
  • Date: 2010-01-07 22:50:39 UTC
  • mfrom: (1.2.2 upstream)
  • Revision ID: james.westby@ubuntu.com-20100107225039-n3cq82589u0qt0s2
Tags: 8.2pl1-1
http://bugs.debian.org/563669
http://bugs.debian.org/543545
[ Stéphane Glondu ]
* New upstream release (Closes: #563669)
  - remove patches
* Packaging overhaul:
  - use git, advertise it in Vcs-* fields of debian/control
  - use debhelper 7 and dh with override
  - use source format 3.0 (quilt)
* debian/control:
  - set Maintainer to d-o-m, set Uploaders to Sam and myself
  - add Homepage field
  - bump Standards-Version to 3.8.3
* Register PDF documentation into doc-base
* Add debian/watch
* Update debian/copyright

[ Samuel Mimram ]
* Change coq-doc's description to mention that it provides documentation in
  pdf format, not postscript, closes: #543545.

Show diffs side-by-side

added added

removed removed

Lines of Context:
theories/Reals/Rtrigo_fun.v
 
1
(************************************************************************)
 
2
(*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team     *)
 
3
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
 
4
(*   \VV/  **************************************************************)
 
5
(*    //   *      This file is distributed under the terms of the       *)
 
6
(*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1        *)
 
7
(************************************************************************)
 
8
 
 
9
(*i $Id: Rtrigo_fun.v 10710 2008-03-23 09:24:09Z herbelin $ i*)
 
10
 
 
11
Require Import Rbase.
 
12
Require Import Rfunctions.
 
13
Require Import SeqSeries.
 
14
Open Local Scope R_scope.
 
15
 
 
16
(*****************************************************************)
 
17
(**           To define transcendental functions                 *)
 
18
(**           and exponential function                           *)
 
19
(*****************************************************************)
 
20
 
 
21
(*********)
 
22
Lemma Alembert_exp :
 
23
  Un_cv (fun n:nat => Rabs (/ INR (fact (S n)) * / / INR (fact n))) 0.
 
24
Proof.
 
25
  unfold Un_cv in |- *; intros; elim (Rgt_dec eps 1); intro.
 
26
  split with 0%nat; intros; rewrite (simpl_fact n); unfold R_dist in |- *;
 
27
    rewrite (Rminus_0_r (Rabs (/ INR (S n))));
 
28
      rewrite (Rabs_Rabsolu (/ INR (S n))); cut (/ INR (S n) > 0).
 
29
  intro; rewrite (Rabs_pos_eq (/ INR (S n))).
 
30
  cut (/ eps - 1 < 0).
 
31
  intro; generalize (Rlt_le_trans (/ eps - 1) 0 (INR n) H2 (pos_INR n));
 
32
    clear H2; intro; unfold Rminus in H2;
 
33
      generalize (Rplus_lt_compat_l 1 (/ eps + -1) (INR n) H2);
 
34
        replace (1 + (/ eps + -1)) with (/ eps); [ clear H2; intro | ring ].
 
35
  rewrite (Rplus_comm 1 (INR n)) in H2; rewrite <- (S_INR n) in H2;
 
36
    generalize (Rmult_gt_0_compat (/ INR (S n)) eps H1 H); 
 
37
      intro; unfold Rgt in H3;
 
38
        generalize (Rmult_lt_compat_l (/ INR (S n) * eps) (/ eps) (INR (S n)) H3 H2);
 
39
          intro; rewrite (Rmult_assoc (/ INR (S n)) eps (/ eps)) in H4;
 
40
            rewrite (Rinv_r eps (Rlt_dichotomy_converse eps 0 (or_intror (eps < 0) H)))
 
41
              in H4; rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne (/ INR (S n)) in H1) in H4;
 
42
                rewrite (Rmult_comm (/ INR (S n))) in H4;
 
43
                  rewrite (Rmult_assoc eps (/ INR (S n)) (INR (S n))) in H4;
 
44
                    rewrite (Rinv_l (INR (S n)) (not_O_INR (S n) (sym_not_equal (O_S n)))) in H4;
 
45
                      rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne eps in H1) in H4; 
 
46
                        assumption.
 
47
  apply Rlt_minus; unfold Rgt in a; rewrite <- Rinv_1;
 
48
    apply (Rinv_lt_contravar 1 eps); auto;
 
49
      rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne eps in H2); unfold Rgt in H; 
 
50
        assumption.
 
51
  unfold Rgt in H1; apply Rlt_le; assumption.
 
52
  unfold Rgt in |- *; apply Rinv_0_lt_compat; apply lt_INR_0; apply lt_O_Sn.
 
53
(**)
 
54
  cut (0 <= up (/ eps - 1))%Z.
 
55
  intro; elim (IZN (up (/ eps - 1)) H0); intros; split with x; intros;
 
56
    rewrite (simpl_fact n); unfold R_dist in |- *;
 
57
      rewrite (Rminus_0_r (Rabs (/ INR (S n))));
 
58
        rewrite (Rabs_Rabsolu (/ INR (S n))); cut (/ INR (S n) > 0).
 
59
  intro; rewrite (Rabs_pos_eq (/ INR (S n))).
 
60
  cut (/ eps - 1 < INR x).
 
61
  intro ;
 
62
    generalize
 
63
      (Rlt_le_trans (/ eps - 1) (INR x) (INR n) H4
 
64
        (le_INR x n H2)); 
 
65
      clear H4; intro; unfold Rminus in H4;
 
66
        generalize (Rplus_lt_compat_l 1 (/ eps + -1) (INR n) H4);
 
67
          replace (1 + (/ eps + -1)) with (/ eps); [ clear H4; intro | ring ].
 
68
  rewrite (Rplus_comm 1 (INR n)) in H4; rewrite <- (S_INR n) in H4;
 
69
    generalize (Rmult_gt_0_compat (/ INR (S n)) eps H3 H); 
 
70
      intro; unfold Rgt in H5;
 
71
        generalize (Rmult_lt_compat_l (/ INR (S n) * eps) (/ eps) (INR (S n)) H5 H4);
 
72
          intro; rewrite (Rmult_assoc (/ INR (S n)) eps (/ eps)) in H6;
 
73
            rewrite (Rinv_r eps (Rlt_dichotomy_converse eps 0 (or_intror (eps < 0) H)))
 
74
              in H6; rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne (/ INR (S n)) in H1) in H6;
 
75
                rewrite (Rmult_comm (/ INR (S n))) in H6;
 
76
                  rewrite (Rmult_assoc eps (/ INR (S n)) (INR (S n))) in H6;
 
77
                    rewrite (Rinv_l (INR (S n)) (not_O_INR (S n) (sym_not_equal (O_S n)))) in H6;
 
78
                      rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne eps in H1) in H6; 
 
79
                        assumption.
 
80
  cut (IZR (up (/ eps - 1)) = IZR (Z_of_nat x));
 
81
    [ intro | rewrite H1; trivial ].
 
82
  elim (archimed (/ eps - 1)); intros; clear H6; unfold Rgt in H5;
 
83
    rewrite H4 in H5; rewrite INR_IZR_INZ; assumption.
 
84
  unfold Rgt in H1; apply Rlt_le; assumption.
 
85
  unfold Rgt in |- *; apply Rinv_0_lt_compat; apply lt_INR_0; apply lt_O_Sn.
 
86
  apply (le_O_IZR (up (/ eps - 1)));
 
87
    apply (Rle_trans 0 (/ eps - 1) (IZR (up (/ eps - 1)))).
 
88
  generalize (Rnot_gt_le eps 1 b); clear b; unfold Rle in |- *; intro; elim H0;
 
89
    clear H0; intro.
 
90
  left; unfold Rgt in H;
 
91
    generalize (Rmult_lt_compat_l (/ eps) eps 1 (Rinv_0_lt_compat eps H) H0);
 
92
      rewrite
 
93
        (Rinv_l eps
 
94
          (sym_not_eq (Rlt_dichotomy_converse 0 eps (or_introl (0 > eps) H))))
 
95
        ; rewrite (let (H1, H2) := Rmult_ne (/ eps) in H1); 
 
96
          intro; fold (/ eps - 1 > 0) in |- *; apply Rgt_minus; 
 
97
            unfold Rgt in |- *; assumption.
 
98
  right; rewrite H0; rewrite Rinv_1; apply sym_eq; apply Rminus_diag_eq; auto.
 
99
  elim (archimed (/ eps - 1)); intros; clear H1; unfold Rgt in H0; apply Rlt_le;
 
100
    assumption.
 
101
Qed.