~ubuntu-branches/ubuntu/hoary/scilab/hoary

<VERB>ode</VERB> est la fonction utilis�e pour approcher la solution d'une �quation diff�rentielle ordinaire (EDO) explicite du premier ordre en temps, d�finie par :

110

111

112

dy/dt=f(t,y) , y(t0)=y0.

113

114

115

Il s'agit d'une interface vers diverses librairies, en particulier ODEPACK.

116

Le type du probl�me et la m�thode utilis�e d�pendent de la valeur du

117

premier argument optionnel <VERB>type</VERB> qui peut �tre �gal � :

118

119

120

<DESCRIPTION_INDENT>

121

<DESCRIPTION_ITEM label='<aucun> :'>

122

<SP>

123

le solveur <VERB>lsoda</VERB> du package ODEPACK est utilis� par d�faut. Il choisit automatiquement entre un sch�ma pr�dicteur-correcteur d'Adams et un sch�ma adapt� au syst�mes raides (stiff) de type "Backward Differentiation Formula" (BDF). Initialement le sch�ma adapt� aux syst�me non raides est choisi puis la m�thode adapt�e est ensuite choisie dynamiquement.

124

</SP>

125

</DESCRIPTION_ITEM>

126

127

<DESCRIPTION_ITEM label='"adams" :'>

128

<SP>

129

Probl�mes non raides. Le solveur <VERB>lsode</VERB> du package ODEPACK est utilis� (sch�ma d'Adams).

130

</SP>

131

</DESCRIPTION_ITEM>

132

133

<DESCRIPTION_ITEM label='"stiff" :'>

134

<SP>

135

Pour les syst�mes raides. Le solveur <VERB>lsode</VERB> du package ODEPACK est utilis� avec le sch�ma BDF.

136

</SP>

137

</DESCRIPTION_ITEM>

138

139

<DESCRIPTION_ITEM label='"rk" :'>

140

<SP>

141

Sch�ma de Runge-Kutta adaptatif d'ordre 4 (RK4).

142

</SP>

143

</DESCRIPTION_ITEM>

144

145

<DESCRIPTION_ITEM label='"rkf" :'>

146

<SP>

147

Formules de Shampine et Watts bas�es sur les paires de Runge-Kutta Fehlberg d'ordre 4 et 5 (RKF45). Bien pour les probl�mes non raides ou moyennement raides, lorsque le calcul du second membre n'est pas trop co�teux. Cette m�thode est � �viter si l'on recherche une tr�s grande pr�cision.

148

</SP>

149

</DESCRIPTION_ITEM>

150

151

<DESCRIPTION_ITEM label='"fix":'>

152

<SP>

153

Identique � "rkf", mais l'interface est simplifi�e, i.e. uniquement <VERB>rtol</VERB> et <VERB>atol</VERB> sont communiqu�s au solveur.

154

</SP>

155

</DESCRIPTION_ITEM>

156

157

<DESCRIPTION_ITEM label='"root":'>

158

<SP>

159

Solveur d'EDO avec recherche de racines. Le solveur <VERB>lsodar</VERB> du package ODEPACK est utilis�. C'est une variante de <VERB>lsoda</VERB> permettant la recherche d'une racine d'une fonction vectorielle donn�e. Voir ode_root pour plus de d�tails.

160

</SP>

161

</DESCRIPTION_ITEM>

162

163

<DESCRIPTION_ITEM label='"discrete":'>

164

<SP>

165

Simulation en temps discret. Voir ode_discrete pour plus de d�tails.

166

</SP>

167

</DESCRIPTION_ITEM>

168

</DESCRIPTION_INDENT>

169

170

Ici on ne d�crit l'usage de <VERB>ode</VERB> que pour des EDO explicites.

171

172

173

L'appel le plus simple de <VERB>ode</VERB> est du type :

174

175

o� <VERB>y0</VERB> est le vecteur des conditions initiales, <VERB>t0</VERB> est le temps initial, et <VERB>t</VERB> est le vecteur des instants o� l'on veut une approximation de la solution.

176

<VERB>y</VERB> est calcul�e et <VERB>y</VERB> est la matrice

177

<VERB>y=[y(t(1)),y(t(2)),...]</VERB>.

178

179

180

Le param�tre <VERB>f</VERB> de <VERB>ode</VERB> est par exemple une fonction Scilab, dont

181

la syntaxe est impos�e, ou le nom d'une subroutine Fortran ou C

182

(cha�ne de caract�res) ou une liste.

183

184

185

Si <VERB>f</VERB> est une fonction Scilab, sa syntaxe doit �tre :

186

187

<VERBATIM><![CDATA[

188

ydot = f(t,y)

189

]]></VERBATIM>

190

191

o� <VERB>t</VERB> est un scalaire (le temps) et <VERB>y</VERB> un vecteur (l'�tat).

192

Cette fonction renvoie le second membre de l'�quation diff�rentielle dy/dt=f(t,y).

193

194

195

Si <VERB>f</VERB> est une cha�ne de caract�res, elle d�signe le nom d'une subroutine Fortran

196

ou C, i.e. si <VERB>ode(y0,t0,t,"fex")</VERB> est la

197

commande, alors la subroutine <VERB>fex</VERB> est appel�e.

198

Cette routine doit avoir la liste d'appel suivante :

199

<VERB>f(n,t,y,ydot)</VERB>. La routine doit �tre li�e dynamiquement � Scilab avec la fonction

200

<VERB>link</VERB>. Voir les exemples dans les fichiers

201

<VERB>SCIDIR/routines/default/README</VERB> et

202

<VERB>SCIDIR/routines/default/Ex-ode.f</VERB>.

203

204

205

L'argument <VERB>f</VERB> peut aussi �tre une liste :

206

si <VERB>ode(y0,t0,t,lst)</VERB>

207

est la commande, alors <VERB>lst</VERB> doit �tre une liste avec la structure suivante :

208

209

<VERBATIM><![CDATA[

210

lst=list(f,u1,u2,...un)

211

]]></VERBATIM>

212

213

o� <VERB>f</VERB> est une fonction avec la syntaxe :

214

215

<VERBATIM><![CDATA[

216

ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)

217

]]></VERBATIM>

218

219

cela permet de passer des param�tres sous forme d'arguments suppl�mentaires de <VERB>f</VERB>.

220

221

222

La fonction <VERB>f</VERB> peut renvoyer une matrice <VERB>p x q</VERB> au lieu d'un vecteur.

223

Dans ce cas, on r�sout le syst�me d'EDO <VERB>n=p+q</VERB>

224

<VERB>dY/dt=F(t,Y)</VERB> o� <VERB>Y</VERB> est une matrice <VERB>p x q</VERB>.

225

La condition initiale <VERB>Y0</VERB> doit aussi �tre une matrice <VERB>p x q</VERB> matrix et le r�sultat renvoy� par <VERB>ode</VERB> est la matrice

226

<VERB>p x q(T+1)</VERB> �gale � <VERB>[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]</VERB>.

227

228

229

Des param�tres optionnels contr�lent la tol�rance du sch�ma :

230

231

sont des valeurs seuil sur les erreurs estim�es (relative et absolue)

232

L'erreur estim�e sur <VERB>y(i)</VERB> est :

233

234

<VERBATIM><![CDATA[

235

rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)

236

]]></VERBATIM>

237

238

Si <VERB>rtol</VERB> et/ou <VERB>atol</VERB> sont des constantes <VERB>rtol(i)</VERB> et/ou

239

<VERB>atol(i)</VERB> prennent ces valeurs. Les valeurs par d�faut de <VERB>rtol</VERB> et <VERB>atol</VERB>

240

sont respectivement <VERB>rtol=1.d-5</VERB> et <VERB>atol=1.d-7</VERB> pour la plupart des solveurs et <VERB>rtol=1.d-3</VERB> et <VERB>atol=1.d-4</VERB> pour <VERB>"rfk"</VERB> et <VERB>"fix"</VERB>.

241

242

243

Pour les probl�mes raides, il est recommand� de fournir la jacobienne du second membre

244

sous forme de l'argument optionnel <VERB>jac</VERB>. Le param�tre <VERB>jac</VERB> de <VERB>ode</VERB> est par exemple une fonction Scilab, dont la syntaxe est impos�e, ou le nom d'une subroutine Fortran ou C

245

(cha�ne de caract�res) ou une liste.

246

247

248

Si <VERB>jac</VERB> est une fonction Scilab sa syntaxe doit �tre :

249

250

<VERBATIM><![CDATA[

251

J=jac(t,y)

252

]]></VERBATIM>

253

254

o� <VERB>t</VERB> est un scalaire (le temps) et <VERB>y</VERB> un vecteur (l'�tat).

255

La matrice <VERB>J</VERB> doit renvoyer df/dx i.e.

256

<VERB>J(k,i) = dfk /dxi</VERB> avec <VERB>fk</VERB> = k-i�me composante de f.

257

258

259

Si <VERB>f</VERB> est une cha�ne de caract�res, elle d�signe le nom d'une subroutine Fortran

260

ou C. Cette routine doit avoir la liste d'appel suivante :

261

<VERB>jac(n,t,y,ml,mu,J,nrpd)</VERB>. Dans la plupart des cas il n'est pas n�cessaire d'utiliser <VERB>ml</VERB>,

262

<VERB>mu</VERB> et <VERB>nrpd</VERB> (voir les exemples dans

263

<VERB>SCIDIR/routines/default/Ex-ode.f</VERB>).

264

265

266

Si <VERB>jac</VERB> est une liste, les m�mes conventions que pour <VERB>f</VERB> s'appliquent.

267

268

269

Les arguments optionnels <VERB>w</VERB> et <VERB>iw</VERB> sont

270

des vecteurs permettant de red�marrer l'int�gration au point o� elle s'�tait arr�t�e � la sortie de ode.

271

272

273

Plus d'options peuvent �tre pass�es aux solveurs d'ODEPACK en utilisant la variable

274

<VERB>%ODEOPTIONS</VERB>. Voir le help de odeoptions.

275

276

</DESCRIPTION>

277

<EXAMPLE><![CDATA[

278

// EDO � une dimension

279

// dy/dt=y^2-y sin(t)+cos(t), y(0)=0

280

deff("[ydot]=f(t,y)","ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t)")

281

y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;

282

y=ode(y0,t0,t,f)

283

plot(t,y)

284

// Simulation de dx/dt = A x(t) + B u(t) avec u(t)=sin(omega*t),

285

// x0=[1;0]

286

// la solution x(t) est d�sir�e en t=0.1, 0.2, 0.5 ,1.

287

// A et u sont pass�es dans une liste

288

// et B et omega sont des variables globales

289

deff("[xdot]=linear(t,x,A,u)","xdot=A*x+B*u(t)")

290

deff("[ut]=u(t)","ut=sin(omega*t)")

291

A=[1 1;0 2];B=[1;1];omega=5;

292

ode([1;0],0,[0.1,0.2,0.5,1],list(linear,A,u))

293

294

// EDO matricielle

295

// Equation diff�rentielle de Ricatti

296

// Xdot=A'*X + X*A - X'*B*X + C , X(0)=Identit�

297

// Solution en t=[1,2]

298

deff("[Xdot]=ric(t,X)","Xdot=A''*X+X*A-X''*B*X+C")

299

A=[1,1;0,2]; B=[1,0;0,1]; C=[1,0;0,1];

300

t0=0;t=0:0.1:%pi;

301

X=ode(eye(A),0,t,ric)

302

303

// Calcul de exp(A)

304

A=[1,1;0,2];

305

deff("[xdot]=f(t,x)","xdot=A*x");

306

ode(eye(A),0,1,f)

307

ode("adams",eye(A),0,1,f)

308

// EDO raide, avec la jacobienne fournie

309

A=[10,0;0,-1];

310

deff("[xdot]=f(t,x)","xdot=A*x");

311

deff("[J]=Jacobian(t,y)","J=A")

312

ode("stiff",[0;1],0,1,f,Jacobian)

313

]]></EXAMPLE>

314

<SEE_ALSO>

315

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>ode_discrete</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

316

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>ode_root</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

317

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>dassl</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

318

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>impl</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

319

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>odedc</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

320

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>odeoptions</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

321

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>csim</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

322

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>ltitr</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

323

<SEE_ALSO_ITEM> <LINK>rtitr</LINK> </SEE_ALSO_ITEM>

324

</SEE_ALSO>

325

326

327

<AUTHORS_ITEM label='Alan C. Hindmarsh'>, mathematics and statistics division, l-316

328

livermore, ca 94550.19</AUTHORS_ITEM>

329

</AUTHORS>

330

331

<SP>Alan C. Hindmarsh, lsode and lsodi, two new initial value

332

ordinary differential equation solvers,

333

acm-signum newsletter, vol. 15, no. 4 (1980), pp. 10-11.</SP>

334

</BIBLIO>

335

336

<USED_FUNCTIONS>

337

<SP>Les sous programmes associ�s se trouvent dans le repertoire routines/integ:

338

lsode.f lsodar.f

339

</SP>

340

</USED_FUNCTIONS>

341

</MAN>

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